sons dataStory

내용 항등행렬 역행렬 행렬식 연립방정식에 적용 역행렬을 사용하여 선형시스템의 해 결정 항등행렬 항등행렬 : eye(n) > eye(3) [,1] [,2] [,3] [1,] 1 0 0 [2,] 0 1 0 [3,] 0 0 1 역행렬 역행렬: 다음의 관계를 만족하는 행렬 B를 역행렬(inverse matrix) 라고 합니다. $$A \cdot B = I \rightarrow B=A^{-1}$$ 이러한 역행렬을 가지는 행렬을 가역행렬(reversible matrix) 라고 합니다. > set.seed(2) > a<-sample(1:10, 4);a [1] 5 6 9 1 > A<-matrix(a, 2,2);A [,1] [,2] [1,] 5 9 [2,] 6 1 > A_inv<-solve(A); A_inv [,1] [,2] [1,] -0.02040816 0.1836735 [2,] 0.12244898 -0.1020408 > A%*%A_inv [,1] [,2] [1,] 1 -1.110223e-16 [2,] 0 1.000000e+00 > round(A%*%A_inv) [,1] [,2] [1,] 1 0 [2,] 0 1 위 행렬 A의 행렬식은 0이 아닙니다. > det(A) [1] -49 행렬식 행렬은 그 행렬로 부터 계산할 수 있는 행렬식(determinant)이 0인 경우 역행렬이 존재하지 않는 특성을 가지고 있습니다. 즉, 행렬식은 어떤 행렬에 대해 특이 행렬 여부를 결정할 수 있는 근거가 됩니다. 행렬식 ≠ 0 &rightarrow; 가역행렬 그러나 위 명제의 역은 성립하지 않습니다. R함수 det() 를 사용하여 계산합니다. 연립방정식에 적용 역행렬을 사용하여 연립방정

내용 유리함수(Rational Function) 점근선(asymptote) 유리함수 그래프와 점근선 그리기 유리함수(Rational Function) 유리함수는 분수형태의 함수를 의미합니다. 예를들어 다음 함수는 분수형태의 유리함수입니다. $$f(x)=\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x - 6}$$ 분수의 경우 분모가 0인 경우 정의할 수 없습니다. 이와 마찬가지로 유리함수 f(x)의 정의역은 분모가 0이 아닌 부분이어야 합니다. 그러므로 위함수의 정의역은 분모가 0인 부분을 제외한 부분들로 구성됩니다. sympt=solve(denom(f), a); asympt [-3, 2] $$-\infty \lt x \lt -3, \quad -3 \lt x \lt 2, \quad 2 \lt x \lt \infty$$ 이 정의역을 고려해 그래프를 작성을 위한 사용자 정의함수는 다음과 같습니다. def validX(x, f, symbol): ① a=[] b=[] for i in x: try: b.append(float(f.subs(symbol, i))) a.append(i) except: pass return(a, b) #x는 임의로 지정한 정의역으로 불연속선점을 기준으로 구분된 몇개의 구간으로 전달할 수 있습니다. #그러므로 인수 x는 2차원이어야 합니다. def RationalPlot(x, f, sym, dp=100): fig, ax=plt.subplots(dpi=dp) # ② for k in x: #③ x4, y4=validX(k, f, sym) ax.plot(x4, y4) ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) ax.spines['right

내용 sympy root() vs real_root() sympy의 특별한 함수들 sympy root() vs real_root() $\sqrt{-1}$와 짝수 거듭제곱근의 경우 음수일 경우 복소수 -i가 됩니다. 즉, 실수 영역에서는 계산할 수 없습니다. 그러나 $\sqrt[3]{-1}$와 같이 홀수 거듭제곱근일 경우 $-\sqrt[3]{1}$와 같습니다. 그러므로 계산 결과는 실수입니다. python의 sympy 패키지의 경우 제곱 근을 나타내기 위해 sqrt()를 사용하지만 그 이상의 거듭제곱근을 표현하기 위해 root() 함수를 사용합니다. 이 함수의 경우 거듭제곱이 홀수인 경우도 루트내의 수가 음수이면 복소수로 전환됩니다. 반면에 real_root() 함수인 경우 올바른 답을 반환합니다. root(-1, 3) $\qquad \color{blue}{\scriptsize{\sqrt[3]{-1}}}$ real_root(-1, 3) −1

gdrive, gsheet, colab 연동 colab에서 gdrive의 폴더, 파일을 사용하기 위해 드라이브를 mount 해야 합니다. colab 앱 설치 구글 드라이브 이동 -마우스 오른쪽 클릭으로 colab연결 (최초 한번으로 동일 유형의 파일은 자동으로 연결됩니다.) 마운트 드라이브 마운트를 위한 코드 실행을 위해서는 코드 자체를 직접입력하고 실행하는 방법과 colab에서 실행하는 방법이 있습니다. 직접실행 from google.colab import drive drive.mount('/content/gdrive') Mounted at /content/gdrive 연결할 디렉토리로 이동 %cd /content/gdrive/MyDrive/연결할 디렉토리이름/ colab에서 실행 다음 그림과 같이 colab에서 디렉토리를 마운트 할 수 있습니다. 위 그림의 gdrive 표시가 된 부분이 마운트를 위한 것으로 클릭으로 위의 코드가 자동으로 반환되며 이후 실행은 같습니다. 연결된 디렉토리의 파일 사용 사용자 정의 디렉토리나 파일을 연결할 수 있습니다. 만약 연결된 디렉토리에 파이썬의 사용자 정의 모듈을 사용하기 위해 다음 코드를 실행합니다. import 사용자정의모듈이름 google sheet 연결 google sheet를 사용하기위해서는 다음의 권한 인증이 필요합니다. from google.colab import auth auth.authenticate_user() import gspread from google.auth import default creds, _ = default() gc=gspread.authorize(creds) 다음은 google finance로부터의 kospi 주가 자료입니다. 다음 코드의 시트이름은 google sheet에서 주어진 이름을 사용합니다. 객체이름=gc.open('파일명').시트이름 wsh1=gc.ope

접선 그리기 함수의 특정한 점에서 접선의 기울기는 그 지점에서의 미분값과 같습니다. a=symbols("a") f=(a-1)**2 df=f.diff('a') df 2a - 2 함수 f위의 점(3, f(3))에서의 접선 식은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. slope=df.subs(a, 3); slope 4 $$\begin{align} y&=\text{slope}\times x+b \\ b&= y - \text{slope}\times x\\&=f(3)-f^\prime(3)\times 3\end{align}$$ b=f.subs(a, 3)-slope*3 eq=slope*a+b; eq 4a−8 위에서 생성한 두 식 f와 eq(접선식)에 대한 그래프를 작성합니다. 그래프 작성에 필요한 함수 plot()과 scatter() 그리고 축 설정은 조각함수 작성 에서 적용한 것과 같습니다. x=np.linspace(-1, 5, 100) fy=[f.subs(a, i) for i in x] eqy=[eq.subs(a, i) for i in x] fig, ax=plt.subplots(figsize=(4, 3)) ax.plot(x, fy, color="g", label=r"f(x)=(x-1)^2") ax.plot(x, eqy, color="b", label="g(x)=4x-8") ax.scatter(3, f.subs(a, 3), s=50, c="b") ax.spines['left'].set_position(("data", 0)) ax.spines['bottom'].set_position(("data", 0)) ax.spines['right'].set_visible(False) ax.spines['top'].set_visible(Fa

내용 f(x)=|x| $f(x)=\frac{1}{x}$ f(x)=|x| 함수 f(x)=|x|의 그래프를 작성합니다. 함수는 sympy 패키지의 함수들을 사용하여 생성합니다. import numpy as np import pandas as pd from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt x=symbols('x') f=abs(x); f |x| sympy객체에 값을 입력하기 위해 .sub(변수, 대체할 값) 을 적용합니다. a=np.linspace(-2, 2, 100) b=[float(f.subs(x, i)) for i in a]; b[:3] [2.0, 1.9595959595959596, 1.9191919191919191] matplolib에 의한 그래프는 그림 박스내에 표시합니다. 그러므로 x=0, y=0의 축은 표시되지 않습니다. 그러므로 이 축을 (0, 0)에 맞추기 위해서는 박스형식의 기존 축을 제거(plt.axis('off'))하고 다음 함수를 사용하여 새로운 축을 작성할 수 있습니다. plt.axhline(y=0, x min , x max ) plt.hlines(y=0, x min , x max ) plt.axvline(x=0, y min , y max ) plt.vlines(x=0, y min , y max ) 다음 그래프는 하나의 그림 프레임을 2열로 분리한 것으로 plt.subplot(행 열 번호) 를 사용한 것입니다. 또한 각 그래프의 간격을 조정하기 위해 plt.subplots_adjust() 함수를 사용합니다. 이 함수의 인수 중 wspace 는 그래프간의 가로 간격, hspace 는 세로간격을 조정합니다. plt.figure(dpi=100) plt.subplots_adjust(wspace=0.5) plt.subplot(121) plt.plot(a, b, label='f(x)=|x|'

내용 limit() 함수 좌극한, 우극한 data4limit 극한 limit() 함수 limit()함수를 사용합니다. limit(식, 변수, 값) 이 함수의 각 인수는 다음과 같습니다. $$\underset{\text{변수} \to \text{값}}{\quad \text{limit} \quad }\text{식}$$ import numpy as np import pandas as pd from sympy import * 예 함수 f(x)=sin(x)와 $g(x)=\frac{\sin(x)}{x}$의 0으로의 극한을 계산합니다. x=symbols('x') f=sin(x) limit(f, x, 0) 0 g=sin(x)/x limit(g, x, 0 ) 1 극한이 정해진 수에 접근하는 경우 .subs() 메서드를 적용할 수 있습니다. ex=x**2/exp(x) limit(ex, x, 1000) $\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{1000000}{e^{1000}}}$ ex.subs(x, 1000) $\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{1000000}{e^{1000}}}$ 그러나 변수가 무한대로 접근하는 경우 .subs()를 적용할 수 없습니다. limit(ex, x, oo) 0 ex.subs(x, oo) NaN sympy의 Limit 클래스는전달되는 식의 계산이 평가되지 않은 상태로 반환됩니다. Limit((cos(x)-1)/x, x, 0) $\quad\color{navy}{\scriptstyle \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right)}$ 위 표현식을 평가하기 위해 .doit() 메서드가 적용됩니다. Limit((cos(x)-1)/x, x, 0).doit() 0 limit((cos(x)-1)/x, x, 0) 0 좌극한, 우극한 함

비선형 1차 미분방정식(Separable Equations) 비선형 1차 미분방정식의 첫번째 유형은 분리가능한 형태(Separable form) 입니다. $$N(y)\frac{dy}{dx}=M(x)$$ 위 식은 y와 x가 분리되어 있는 형태입니다. 이 식의 해를 결정하기 위해 양변을 적분합니다. $$\begin{aligned}&\int N(y)\frac{dy}{dx}\,, dx=\int M(x)\,, dx\\ &\int N(y)\, dy = \int M(x)\, dx \end{aligned}$$ 예) $\frac{dy}{dx}=6y^2x$의 해를 결정합니다. 이 식의 초기 조건은 $y(1)=\frac{1}{25}$입니다. $$\begin{aligned}&\frac{1}{6y^2}\frac{dy}{dx}=x\\ &\int \frac{1}{6y^2}\frac{dy}{dx}\, dx=\int x\, dx \\ &\int \frac{1}{6y^2}\, dy=\int x\, dx\\ &-\frac{1}{6}\frac{1}{y}=\frac{1}{2}x^2+C\\ &\frac{1}{y}=-3x^2+C\end{aligned}$$ 위 식에 초기조건을 대입하여 C를 결정합니다. $$\begin{aligned}&\frac{1}{1/25}=-3+C\\&C=28\end{aligned}$$ 그러므로 해는 다음과 같습니다. $$\begin{aligned}\frac{1}{y}=-3x^2+28 \\ y=\frac{1}{28-3x^2} \end{aligned}$$ x=symbols('x') y=Function('y')(x) eq=Eq(y.diff(x), 6*y**2*x) sol=dsolve(eq, y, ics={y.subs(x, 1): 1/25}); sol $\quad\color{navy}{\scriptstyle y{\left(x \right)} = - \frac{1}{3 x^

선형미분방정식(Linear Differential Equations) 다음 식 1은 가장 높은 차수가 1차 미분을 포함하는 전형적인 선형 1계 미분방정식입니다. 기본적으로 이 형태의 방정식을 풀기 위해서는 좌항 전체를 적분 가능한 형태로 전환해 줍니다. $$\frac{dy}{dt}+p(t)y=g(t) \tag{1}$$ 식 1의 p(t)와 g(t)는 연속함수입니다. 식 1의 좌항은 특정한 함수를 첨가함으로 식 2와 같은 미분의 곱의 형태와 유사하게 만들 수 있습니다. $$\frac{d}{dx}\left(f(x)\mu(x)\right) = \frac{d[f(x)]}{dx}\mu(x)+f(x)\frac{d[\mu(x)]}{dx} \tag{2}$$ 식 1을 식 2와 같은 형태로 만들기 위해 식 1의 양변에 $\mu(t)$를 곱해줍니다. 이 함수를 적분인자(integrating factor) 라고 합니다. $$\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu(t)p(t)y=\mu(t)g(t)\tag{3}$$ 적분인자를 고려한 식 3을 식 2와 비교하면 식 4를 가정할 수 있습니다. $$\begin{align}\tag{4} & \mu(t)p(t)=\mu'(t)\\ & \frac{\mu(t)}{\mu'(t)}=p(t)\end{align}$$ 위의 가정으로 2의 좌항에 미분의 곱법칙을 적용될 수 있습니다. $$\begin{equation}\begin{aligned}&\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu'(t)y=(\mu(t) y)'=\mu(t)g(t)\\ & \therefore \mu(t)g(t)=(\mu(t) y)'\end{aligned}\end{equation}$$ 위 식의 양변을 적분하여 y (또는 y(t))를 다음과 같이 정리할 수 있습니다. $$\begin{aligned}&\begin{aligned}\int\mu(t)g(t)\, dt&=\int (\mu(t) y(t))&