비선형 1차 미분방정식(Separable Equations)

비선형 1차 미분방정식의 첫번째 유형은 분리가능한 형태(Separable form)입니다. $$N(y)\frac{dy}{dx}=M(x)$$ 위 식은 y와 x가 분리되어 있는 형태입니다. 이 식의 해를 결정하기 위해 양변을 적분합니다. $$\begin{aligned}&\int N(y)\frac{dy}{dx}\,, dx=\int M(x)\,, dx\\ &\int N(y)\, dy = \int M(x)\, dx \end{aligned}$$

예)
$\frac{dy}{dx}=6y^2x$의 해를 결정합니다. 이 식의 초기 조건은 $y(1)=\frac{1}{25}$입니다.

$$\begin{aligned}&\frac{1}{6y^2}\frac{dy}{dx}=x\\ &\int \frac{1}{6y^2}\frac{dy}{dx}\, dx=\int x\, dx \\ &\int \frac{1}{6y^2}\, dy=\int x\, dx\\ &-\frac{1}{6}\frac{1}{y}=\frac{1}{2}x^2+C\\ &\frac{1}{y}=-3x^2+C\end{aligned}$$ 위 식에 초기조건을 대입하여 C를 결정합니다. $$\begin{aligned}&\frac{1}{1/25}=-3+C\\&C=28\end{aligned}$$ 그러므로 해는 다음과 같습니다. $$\begin{aligned}\frac{1}{y}=-3x^2+28 \\ y=\frac{1}{28-3x^2} \end{aligned}$$

x=symbols('x')
y=Function('y')(x)
eq=Eq(y.diff(x), 6*y**2*x)
sol=dsolve(eq, y, ics={y.subs(x, 1): 1/25}); sol

$\quad\color{navy}{\scriptstyle y{\left(x \right)} = - \frac{1}{3 x^{2} - 28.0}}$

위 결과는 분수함수입니다. 이 함수의 경우 분모가 0이 되는 부분은 함수의 정의역에서 제외되어야 합니다. 그러므로 이 함수에 대한 정의역을 재정의 할 필요가 있습니다. $$3x^2-28 \ne 0 \rightarrow x \ne \pm \sqrt{\frac{28}{3}}$$ 위 함수의 정의역은 다음과 같습니다. $$\left(-\infty, \;-\sqrt{\frac{28}{3}}\right),\quad \left(-\sqrt{\frac{28}{3}},\quad \sqrt{\frac{28}{3}}\right), \quad \left(\sqrt{\frac{28}{3}},\quad \infty\right)$$ 위의 부등식의 해를 계산하기 위해 solve() 뿐만 아니라 sympy.solve_inequality(다항식, 비교연산자) 함수를 적용할 수 있습니다. 이 함수의 인수인 '다항식'은 Poly(식, 변수)에 의해 생성된 객체이며 비교연산자는 부등식의 rel_op 속성을 사용합니다. 다음 과정으로 결과를 도출할 수 있습니다.

부등식 생성(eq) 식의 좌항은 속성 lhs, 우항은 rhs로 호출할 수 있습니다. Poly(식, 변수)를 사용하여 다항식을 표현합니다. solve_poly_inequality(Poly(eq.lhs), eq.rel_op)

eq1
3𝑥2−28.0>0
eq1=denom(sol.rhs)>0
eq2=denom(sol.rhs)<0
do1=solve_poly_inequality(Poly(eq1.lhs, x), '>');do1

[Interval.open(-oo, -2*sqrt(21)/3), Interval.open(2*sqrt(21)/3, oo)]

do2=solve_poly_inequality(Poly(eq2.lhs),eq2.rel_op);do2

[Interval.open(-2*sqrt(21)/3, 2*sqrt(21)/3)]

do1+do2

[Interval.open(-oo, -2*sqrt(21)/3),
 Interval.open(2*sqrt(21)/3, oo),
 Interval.open(-2*sqrt(21)/3, 2*sqrt(21)/3)]

N(2*sqrt(21)/3, 4)==sqrt(28/3).evalf(4)

True

plt.figure(dpi=100)
a=np.linspace(-3, 3, 100)
b=[float((sol.rhs).subs(x, i)) for i in a]
plt.plot(a, b)
plt.show()

예)
함수 $y'=\frac{3x^2+4x-4}{2y-4}$의 초기조건 $y(1)=3$에서의 해를 결정합니다.

$$\begin{aligned}&\int (2y-4)\, dy=\int \left(3x^2+4x-4\right)\,dx\\ &y^2-4y=x^3+2x^2-4x+C\\ &C=9-12+1=-2\\ &y^2-4y=x^3+2x^2-4x-2\end{aligned}$$ 위 식은 y에 대한 2차 식으로 근의 공식을 사용하여 y(x)를 계산할 수 있습니다.

x, y=symbols('x y')
eq=y**2-4*y-(x**3+2*x**2-4*x-2)
sol=solve(eq, y); sol

[2 - sqrt(x**3 + 2*x**2 - 4*x + 2), sqrt(x**3 + 2*x**2 - 4*x + 2) + 2]

위 두 결과 중에서 초기조건에 충족하는 것이 명시적 해가 됩니다.

sol[0].subs(x, 1)

1

sol[1].subs(x, 1)

3

위 결과의 두 번째 식이 해가 됩니다. $$y(t)=\sqrt{x^3+2x^2-4x+2}+2$$

x=symbols('x', real=True)
y=Function('y')(x)
eq=Eq(y.diff(x), (3*x**2+4*x-4)/(2*y-4))
y1=dsolve(eq, y, ics={y.subs(x, 1): 3}); y1

$\quad\color{navy}{\scriptstyle y{\left(x \right)} = \sqrt{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 2} + 2}$
위 함수는 제곱근을 포함하므로 정의역을 정의할 필요가 있습니다.

doEq=x**3+2*x**2-4*x+2>=0
do=solve_poly_inequality(Poly(doEq.lhs, x), doEq.rel_op); do

[Interval(CRootOf(x**3 + 2*x**2 - 4*x + 2, 0), oo)]

위 결과의 CRootOf는 다항식의 실수와 복소수 근들을 가짐을 나타냅니다. 그러므로 위 결과가 나타내는 범위는 다음과 같습니다.
($\sqrt{x^3 + 2x^2 - 4x + 2}=0$의 근, $\infty$) $\sqrt{x^3 + 2x^2 - 4x + 2}$와 같은 제곱근은 root(식, 제곱근차수) 함수를 사용하여 나타낼 수 있습니다.
위 식을 직접적으로 solve()함수에 전달하면 매우 복잡한 값들이 반환됩니다. 이러한 결과는 N() 또는 evalf() 함수에 의해 전환되어 나타낼 수 있습니다.

root(x**3 + 2*x**2 - 4*x + 2, 2)

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \sqrt{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 2}}$

solve((root(x**3 + 2*x**2 - 4*x + 2, 2),0), x)

[((64 + (-4 + (1 - sqrt(3)*I)*(3*sqrt(105) + 71)**(1/3))*(1 - sqrt(3)*I)*(3*sqrt(105) + 71)**(1/3))/(6*(1 - sqrt(3)*I)*(3*sqrt(105) + 71)**(1/3)),),
 ((64 + (-4 + (1 + sqrt(3)*I)*(3*sqrt(105) + 71)**(1/3))*(1 + sqrt(3)*I)*(3*sqrt(105) + 71)**(1/3))/(6*(1 + sqrt(3)*I)*(3*sqrt(105) + 71)**(1/3)),),
 (-(3*sqrt(105) + 71)**(1/3)/3 - 16/(3*(3*sqrt(105) + 71)**(1/3)) - 2/3,)]

[N(i, 4) for i in solve(root(x**3+2*x**2-4*x+2, 2), x, real=True)]

[0.6826 + 0.3583*I, 0.6826 - 0.3583*I, -3.365]

위 결과 중 실수 부분은 -3.365이므로 최종적으로 이 미분방정식의 해는 다음과 같이 나타냅니다. $$y(t)=\sqrt{x^3+2x^2-4x+2}+2, \quad -3.365 \le x \le \infty $$

예)
$y'=\frac{xy^3}{\sqrt{1+x^2}}$의 해를 결정합니다. 초기조건은 y(0)=-1입니다.

$$\begin{aligned}&\int y^{-3}\, dy=\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx\\\\ & \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx\\ & 1+x^2=u \rightarrow 2xdx=du\\ &\int \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}}\, du =u^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1+x^2}+C \\ &\therefore -\frac{1}{2}y^{-2}= \sqrt{1+x^2}+C \end{aligned}$$ 초기조건에 대한 설정 $$\begin{aligned}&C+1=-\frac{1}{2}(-1)^{-2}\\&C=-\frac{3}{2}\\ & -\frac{1}{2}y^{-2}= \sqrt{1+x^2}-\frac{3}{2}\\ &y^2=\frac{1}{3-2\sqrt{1+x^2}}\\ &\therefore y^2=\pm\frac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+x^2}}}\end{aligned}$$

x=symbols('x', real=True)
y=Function('y')(x)
eq=Eq(y.diff(x)/y**3, x/(sqrt(1+x**2))); eq

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}$

sol=dsolve(eq, y)
[N(i, 4) for i in sol]

[Eq(y(x), -0.7071*(-1/(C1 + (x**2 + 1.0)**0.5))**0.5),
 Eq(y(x), 0.7071*(-1/(C1 + (x**2 + 1.0)**0.5))**0.5)]

dsolve()함수에 초기조건을 부여할 경우 다음과 같이 결과가 반환되지 않습니다. 이는 위 식들 중 하나 또는 모든 식이 성립하지 않음을 의미합니다.

dsolve(eq, y, ics={y.subs(x, 0):-1})

[]

그러므로 위 식들 각각에 대해 해를 결정해 봅니다. 다음 코드들의 결과와 같이 두 번째 식의 해는 결정할 수 없음을 알 수 있습니다.

eq1=(sol[0].rhs).subs(x, 0)+1
eq1sol=solve(eq1);eq1sol

[-3/2]

eq2=(sol[1].rhs).subs(x, 0)+1
solve(eq2)

[]

결과적으로 이 미분방정식의 해는 다음과 같습니다.

ans=(-0.7071*(-1/(C1 + (x**2 + 1.0)**0.5))**0.5).subs(C1, eq1sol[0]);ans

$\quad\color{navy}{\scriptstyle - 0.7071 \left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1.0\right)^{0.5} - \frac{3}{2}}\right)^{0.5}}$
또한 위 결과에서 분모는 0이 아닌 양수이어야 합니다. 이 조건으로 x의 정의역을 다시 정의할 필요가 있습니다.

solve(3/2-sqrt(x**2+1)>0)

$\quad\color{navy}{\scriptstyle -1.11803398874989 \lt x \wedge x \lt 1.11803398874989}$

예)
다음 미분방정식의 해를 결정합니다. $$y'=e^{-y}(2x-4), \quad y(5)=0$$

x=symbols('x')
y=Function('y')
eq=Eq(y(x).diff(x), exp(-y(x))*(2*x-4)); eq

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(2 x - 4\right) e^{- y{\left(x \right)}}}$

sol=dsolve(eq, y(x), ics={y(5): 0}); sol

$\quad\color{navy}{\scriptstyle y{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 4 x - 4 \right)}}$
위 결과에서 $x^2-4x-5 >0$의 조건을 충족해야 합니다.

xRange=solve((x**2-4*x-4)>0); xRange

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \left(-\infty \lt x \wedge x \lt 2 - 2 \sqrt{2}\right) \vee \left(x \lt \infty \wedge 2 + 2 \sqrt{2} \lt x\right)}$
위 결과의 그래프는 다음과 같습니다.

예)
다음 미분방정식의 해를 결정합니다.

$$\frac{dr}{d \theta}=\frac{r^2}{\theta}, \quad r(1)=2$$ $$\begin{aligned}&\int \frac{1}{r^2}\, dr=\int \frac{1}{\theta} \, d\theta\\ &-\frac{1}{r}=\ln \vert \theta \vert +C\\ &-\frac{1}{2} = \ln(1)+C \rightarrow C=-\frac{1}{2} \\ & r=\frac{1}{\frac{1}{2}-\ln \vert \theta \vert} \end{aligned}$$

th = symbols('theta', positve=True)
r=Function('r')(th)
eq=Eq(r.diff(th), r**2/th);eq

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{d}{d \theta} r{\left(\theta \right)} = \frac{r^{2}{\left(\theta \right)}}{\theta}}$

sol=dsolve(eq, r, ics={r.subs(th, 1): 2}); sol

$\quad\color{navy}{\scriptstyle r{\left(\theta \right)} = - \frac{1}{\log{\left(\theta \right)} - \frac{1}{2}}}$

denomSol=solve(1/2-log(th));denomSol 

[1.64872127070013]

위 결과에 의하면 정의역은 다음과 같습니다. $$ -\infty \lt \theta \lt 1.649,\; 1.649\lt \theta \lt \infty$$ $\theta$는 로그함수의 지수로서 양수이어야 합니다. 그러므로 위의 정의역은 다음과 같이 수정됩니다. $$ 0\lt \theta \lt 1.649,\; 1.649 \lt \theta \lt \infty$$

예)
다음 미분방정식의 해를 결정합니다.

$$\frac{dy}{dx}=e^{y-t}\sec(y)(1+t^2), \quad y(0)=0$$ $$\begin{aligned} &\int e^{-y}\cos(y)\, dy=\int e^{-t}(1+t^2) \, dt \\&\color{blue}{\text{좌항 적분}}\\ &\begin{aligned}\int e^{-y}\cos(y)\, dy&=e^{-t}\sin(y)+\int e^{-y}\sin(y)\, dy\\ &=e^{-t}\sin(y)-e^{-t}\cos(y)-\int e^{-y}\cos(y)\, dy\end{aligned}\\ & \rightarrow \int e^{-y}\cos(y)\, dy=\frac{e^{-y}}{2}\left(\sin(y)-\cos(y)\right)\\&\color{blue}{\text{우항 적분}}\\ &\begin{aligned}\int e^{-t}(1+t^2) \, dt &= -(1+t^2)e^{-t}+\int 2te^{-t}\,dt\\ &= -(1+t^2)e^{-t}-2te^{-t}-2e^{-t}\end{aligned}\\ &\rightarrow \int e^{-t}(1+t^2) \, dt=-e^{-t}(t^2+2t+3)\\&\color{blue}{\text{위 결과를 정리}}\\ &\frac{e^{-y}}{2}\left(\sin(y)-\cos(y)\right)=-e^{-t}(t^2+2t+3)+C\\ &\frac{1}{2}(-1)=-3+C \rightarrow C=\frac{5}{2}\\ &\therefore\; \frac{e^{-y}}{2}\left(\sin(y)-\cos(y)\right)=-e^{-t}(t^2+2t+3)+\frac{5}{2}\end{aligned}$$

t=symbols('t')
y=Function('y')(t)
eq=Eq(y.diff(t), exp(y-t)*sec(y)*(1+t**2));eq

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \left(t^{2} + 1\right) e^{- t + y{\left(t \right)}} \sec{\left(y{\left(t \right)} \right)}}$

sol=dsolve(eq, y, ics={y.subs(t, 0):0}); sol

$\quad\color{navy}{\scriptstyle - \left(- t^{2} - 2 t - 3\right) e^{- t} + \frac{e^{- y{\left(t \right)}} \tan{\left(y{\left(t \right)} \right)}}{2 \sec{\left(y{\left(t \right)} \right)}} - \frac{e^{- y{\left(t \right)}}}{2 \sec{\left(y{\left(t \right)} \right)}} = \frac{5}{2}}$
위 결과로 부터 y(t) 형태의 함수인 명시적 결과를 결정하는 것은 어렵습니다.
이 예와 같이 명시적 결과를 결정할 수 없는 미분 방정식이 존재합니다.