R: 역행렬을 사용하여 선형시스템의 해 결정

내용

• 항등행렬
• 역행렬
• 행렬식
• 연립방정식에 적용

역행렬을 사용하여 선형시스템의 해 결정

항등행렬

항등행렬 : eye(n)

> eye(3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    1    0
[3,]    0    0    1

역행렬

역행렬: 다음의 관계를 만족하는 행렬 B를 역행렬(inverse matrix)라고 합니다. $$A \cdot B = I \rightarrow B=A^{-1}$$ 이러한 역행렬을 가지는 행렬을 가역행렬(reversible matrix)라고 합니다.

> set.seed(2)
> a<-sample(1:10, 4);a
[1] 5 6 9 1
> A<-matrix(a, 2,2);A
     [,1] [,2]
[1,]    5    9
[2,]    6    1
> A_inv<-solve(A); A_inv
            [,1]       [,2]
[1,] -0.02040816  0.1836735
[2,]  0.12244898 -0.1020408
> A%*%A_inv
     [,1]          [,2]
[1,]    1 -1.110223e-16
[2,]    0  1.000000e+00
> round(A%*%A_inv)
     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

위 행렬 A의 행렬식은 0이 아닙니다.

> det(A)
[1] -49

행렬식

행렬은 그 행렬로 부터 계산할 수 있는 행렬식(determinant)이 0인 경우 역행렬이 존재하지 않는 특성을 가지고 있습니다. 즉, 행렬식은 어떤 행렬에 대해 특이 행렬 여부를 결정할 수 있는 근거가 됩니다.

행렬식 ≠ 0 → 가역행렬
그러나 위 명제의 역은 성립하지 않습니다.

R함수 det()를 사용하여 계산합니다.

연립방정식에 적용

역행렬을 사용하여 연립방정식의 해를 결정할 수 있습니다. $$ \begin{matrix} \begin{matrix} x + y + 2z& =9 \\2x + 4y- 3z& = 1\\ 3x + 6y- 5z& = 0 \end{matrix} \rightarrow & \begin{bmatrix}1&1&2\\2&4&-3\\3&6&-5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9\\1\\0\end{bmatrix} \end{matrix}$$ 위 식의 계수행렬을 A, 변수행렬을 x, 상수행렬은 c 라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. Ax=c A가 가역행렬이라면 변수행렬은 다음과 같이 계산될 수 있습니다. $$\begin{align}&Ax=c\\&A^{-1}Ax=A^{-1}c\\&x=A^{-1}c\end{align}$$

> a1<-c(1,1,2)
> a2<-c(2,4,-3)
> a3<-c(3, 6, -5)
> A<-rbind(a1, a2, a3);A
   [,1] [,2] [,3]
a1    1    1    2
a2    2    4   -3
a3    3    6   -5
> det(A)
[1] -1

행렬식이 0이 아니므로 가역행렬이므로 역행렬을 계산합니다.

> constant<-matrix(c(9, 1, 0), nrow=3); constant
     [,1]
[1,]    9
[2,]    1
[3,]    0

> A_inv<-solve(A); A_inv
     a1  a2 a3
[1,]  2 -17 11
[2,] -1  11 -7
[3,]  0   3 -2

위 역행렬과 상수행렬의 행렬곱에 의해 해를 결정합니다.

> A_inv%*%constant
     [,1]
[1,]    1
[2,]    2
[3,]    3

위 과정은 solve(개수행렬, 상수벡터)함수로 대체할 수 있습니다.

> solve(A, constant)
     [,1]
[1,]    1
[2,]    2
[3,]    3