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[data analysis] Levene Test

Levene Test

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Levene 테스트는 k 샘플(그룹)들의 등분산성을 검정하기 위해 사용합니다. 일부 통계 테스트(예: 분산 분석)에서는 분산이 그룹 또는 샘플 간에 동일하다고 가정하며 회귀분석에서는 다양한 회귀모델들로 계산되는 오차 분포의 분산이 동일하다고 가정합니다. Levene 테스트를 사용하여 이러한 가정을 확인할 수 있습니다. Levene 검정은 Bartlett 검정의 대안으로 자료의 정규성이 불확실한 경우 선호됩니다. 그러나 데이터가 실제로 정규 분포 또는 거의 정규 분포에서 나왔다는 강력한 증거가 있다면 Bartlett의 검정이 더 나은 성능을 보입니다. Levene 검정의 귀무가설과 대립가설은 일반적으로 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

H0: σ1 = σ2 = … = σk
H1: 최소한 한 그룹의 분산이 다름

Levene 검정 통계량(W)은 식 1와 같이 정의됩니다.

\begin{align} W&=\frac{N-k}{k-1}\frac{\sum^k_{i=1}n_i(Z_{i.}-Z_{..})^2}{\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}(Z_{ij}-Z_{i.})^2}\\ Z_i & =\frac{1}{n_i}\sum^{n_i}_{j=1}Z_{ij}\\ Z_{..} & =\frac{1}{N}\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}Z_{ij}\\ & k: \,\text{그룹의 수} \\ & n_i: \,\text{i번째 그룹에 속하는 샘플의 수} \\ & N: \,\text{총 샘플 수} \\ & Z_{ij}:\, \text{i번째 그룹의 j번째 관측값}\, y_{ij}\text{과}\, \hat{y_i}\text{의} L_1 \text{norm입니다.}\end{align}(식 1)

Zij는 식 2와 같이 계산됩니다.

$$Z_{ij}=\Vert Y_{ij}-\bar{Y}_i \Vert $$(식 2)

$\bar{y}_i$는 i번째 그룹의 중간값(median), 또는 평균(mean), 또는 절삭평균(trimmed mean)입니다.

Levene은 원래 평균을 사용할 것을 제안했지만 1974년 Brown과 Forsythe의 논문은 Levene의 검정을 중앙값 또는 절삭 평균을 사용하도록 확장했습니다. 중위수는 일반적으로 비정규 데이터에 대해 더 강력하므로 권장되지만 표본의 기본 분포가 알려진 경우 절삭평균이 더 나은 성능을 제공할 수 있습니다.

W 테스트 통계는 k−1 및 n−k 자유도로 대략 F-분포에 부합합니다. Leven 검정은 scipy.stats.levene() 함수를 사용합니다. 위 예인 da1에 대해 levene 검정을 실시합니다.

예 1)

일정기간의 코스피지수, 코스탁지수, 다우존스지수, 원-달러 환율의 일일 종가의 변화율 자료들의 등분산성을 검정합니다. levene test를 적용합니다.

kos kq dj WonDol
1 0.016 0.008 0.006 0.002
2 -0.007 -0.004 0.014 -0.000
3 0.021 0.008 0.007 0.000
4 0.040 -0.001 0.002 0.006
5 -0.001 -0.011 -0.003 -0.000
⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮

이 자료는 다음 코드에 의해 호출하고 계산합니다. 

st=pd.Timestamp(2021,1, 1)
et=pd.Timestamp(2024, 5, 30)
code=["KS11", "KQ11", "DJI", "USD/KRW"]
nme=['kos','kq','dj','WonDol']
da=pd.DataFrame()
for i in code:
    x=fdr.DataReader(i,st, et)['Close']
    x1=x.pct_change()
    da=pd.concat([da, x1], axis=1)
da.columns=nme
da.index=range(len(da))
da1=da.dropna()
st, pV=stats.levene(da1['kos'], da1['kq'], da1['dj'], da1['WonDol'])
print(f'통계량: {round(st, 3)}, p-value: {round(pV, 3)}')
통계량: 120.685, p-value: 0.0

정규분포를 따르는 각 샘플의 표본평균분포경우에 적용합니다.

st1, pV1=stats.levene(kos1, kq1, dj1, wd1)
print(f'통계량: {round(st1, 3)}, p-value: {round(pV1, 3)}')
통계량: 46.232, p-value: 0.0

두 분석의 결과 역시 등분산성에 대한 귀무가설을 기각할 수 있습니다.

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