Affin combination과 linear combination

기하학적으로 두 점들이 이루는 집합 S에서 이 점들을 통과하는 선이 그 집합내에 존재한다면 그 집합은  affin입니다. 이것은 S의 두 점에 대한 모든 affin combination은  S를 포함합니다.
정리하면
집합 S의 점들에 대한 모든 affin combination이 S 내에 존재한다면 그 집합은 Affine 입니다.
S=aff S → S는 affine

간단히 말하면 어떤 집합 S는 선형결합이 존재하고 그 집합의 원소들 사이의 Affine combination에서도 선형결합이 성립해야 한다는 것입니다. 이것은  linear combination이 성립한다면 Affine combination이 이루어지는 것을 의미합니다.
선형관계성을 알아보기 위해 동차시스템(homogeneous system)을 먼저 정의합니다.
어떤 시스템을 동차시스템으로 만드는 것은 다음과 같습니다.
Ax = b → Ax-b=0
이 변화를 행렬 형태로 나타내보면 다음과 같습니다.
 $A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right], x=\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right], b=\left[\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\end{matrix}\right] $
$\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\end{matrix}\right] \\ \rightarrow \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\end{matrix}\right]=0\\ \rightarrow \left[\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2-b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2-b_2\end{matrix}\right] =0\\ \rightarrow \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&-b_1\\a_{21}&a_{22}&-b_2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\1\end{matrix}\right]=0$
그러므로
 $R^n$ 차원의 벡터 v의 표준 동차형태(homogeneous form)은 $\tilde{v}=\left[\begin{matrix}v\\1\end{matrix}\right]$ 입니다. 
위 설명으로 부터 y의 동차형태가 Span={$\tilde{v}_1, \cdots, \tilde{v}_p$}라면 점 y는 $v_1, \cdots, v_p$의 affin combination입니다. 사실
$\tilde{y}=c_1\tilde{v}_1+\cdots+c_p\tilde{v}_p, \quad c_1+\cdots+c_p=1$
위 식이 성립한다는 것으로 affine 변형에 의한 새로운 함수사이에 선형결합이 이루어지는 것으로 다음과 같이 변형 전의 변수들 사이에 선형결합 역시 성립하는 것과 동치입니다. 
$y=c_1v_1+\cdots+c_pv_p, \quad c_1+\cdots+c_p=1$

>>> import numpy as np
>>> import numpy.linalg as LA
>>> from sympy import *
1. p에 대한 다음 벡터들의 Affin combination?
$v_1=\left[\begin{matrix}3\\1\\1\end{matrix}\right],\; v_2=\left[\begin{matrix}1\\2\\2\end{matrix}\right],\;v_3=\left[\begin{matrix}1\\7\\7\end{matrix}\right], \; p=\left[\begin{matrix}4\\3\\0\end{matrix}\right]$
위 벡터들의  Affin combination이 성립한다면 위 각 벡터의 동차형태에 대해 다음이 성립해야 합니다.
$\tilde{y}=c_1 \tilde{v}_1+ c_2 \tilde{v}_2+ c_3 \tilde{v}_3, \quad c_1+c_2+c_3=1$

>>> v1t=np.array([[3],[1], [1],[1]]);v1t

array([[3],

       [1],

       [1],

       [1]])

>>> v2t=np.array([[1],[2],[2],[1]]);v2t

array([[1],

       [2],

       [2],

       [1]])

>>> v3t=np.array([[1],[7],[1],[1]]); v3t

array([[1],

       [7],

       [1],

       [1]])

>>> pt=np.array([[4],[3],[0],[1]]);pt

array([[4],

       [3],

       [0],

       [1]])

위로 부터 [v1t  v2t  v3t]c=pt 의 식에서 해의 존재를 나타내는 것과 같습니다. 

$\left[\begin{matrix}3&1&1\\1&2&7\\1&2&1\\1&1&1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}c_1\\c_2\\c_3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4\\3\\0\\1\end{matrix}\right]$

위 식을 계산하기 위해 기약행 사다리꼴 (해구하기)을 적용합니다. 

위식의 확대행렬(계수행렬+상수벡터) au는 다음과 같습니다. 

>>> au=np.c_[v1t,v2t,v3t,pt];au

array([[3, 1, 1, 4],

       [1, 2, 7, 3],

       [1, 2, 1, 0],

       [1, 1, 1, 1]])

위 확대행렬의 기약행사리꼴은 sympy함수 rref()를 사용하여 계산합니다. 

>>> Matrix(au).rref()

(Matrix([

[1, 0, 0, 3/2],

[0, 1, 0,  -1],

[0, 0, 1, 1/2],

[0, 0, 0,   0]]), (0, 1, 2))

위 결과를 정리하면 다음과 같습니다. 

$p=1.5v_1-v_2+0.5v_3$

또한 계수들의 합 역시 1이 됩니다.

2. 다음 벡터들 $v_1, v_2, v_3$이 p의  affin S?
$v_1=\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right],\; v_2=\left[\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right],\; v_3=\left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right],\; p=\left[\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right]$
각 벡터의 동차 형태에 대한 선형 결합을 확인해 봅니다.
$pt=c_1v_1t+c_2v_2t+c_3v_3t$
>>> v1t=np.array([[1],[0], [1]]);v1t
array([[1],
       [0],
       [1]])
>>> v2t=np.array([[-1],[2],[1]]);v2t
array([[-1],
       [ 2],
       [ 1]])
>>> v3t=np.array([[3],[1],[1]]); v3t
array([[3],
       [1],
       [1]])
>>> pt=np.array([[4],[3],[1]]);pt
array([[4],
       [3],
       [1]])
>>> au=np.c_[v1t,v2t,v3t,pt];au #위 식의 확대행렬
array([[ 1, -1,  3,  4],
       [ 0,  2,  1,  3],
       [ 1,  1,  1,  1]])
       [ 1,  1,  1,  1]])
>>> Matrix(au).rref()#확대 행렬에 대한 기약행사다리꼴
(Matrix([
[1, 0, 0, -3/2],
[0, 1, 0,  1/2],
[0, 0, 1,    2]]), (0, 1, 2))
이 결과로 위 식의 선형결합성을 확인할 수 있으며 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$pt=-\frac{3}{2}v_{1t}+\frac{1}{2}v_{2t}+2v_{3t} \rightarrow p=-\frac{3}{2}v_1+\frac{1}{2}v_2+2v_3$
또한 위 결과의 각 계수 합 역시 1이 됩니다. $-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+2=1$
위 과정은 "affin combination이란"에서 서술한 과정과 동일한 결과를 나타냅니다. 그 과정은 다음과 같습니다. 
$p-v_1=a(v_2-v_1)+b(v_3-v_1)\\p=(1-a-b)v_1+av_2+bv_3$
위 과정은 사용자 함수 affinMatS()를 적용하였습니다.
 >>> x, y=affinMatS(au, 0)
위 결과는 다음과 같습니다.
$x=\left[\begin{matrix} v_2-v_1& v_3-v_1&p-v_1\end{matrix}\right]$
y= x의 기약행사다리꼴
>>> x
array([[-2,  2,  3],
       [ 2,  1,  3],
       [ 0,  0,  0]])
>>> y
(Matrix([
[1, 0, 1/2],
[0, 1,   2],
[0, 0,   0]]), (0, 1))
 위 결과를 정리하면
$p-v_1=a(v_2-v_1)+b(v_3-v_1)=\frac{1}{2}(v_2-v_1)+2(v_3-v_1)\\ p=-\frac{3}{2}v_1+\frac{1}{2}v_2+2v_3$
결론적으로  Affin combination은 원 벡터들의 선형결합을 일정한 위치만을 이동시키는 것입니다.
위 선형결합 결과를 그림으로 나타내며 다음과 같습니다.