affin combination이란

f(x) =f($x_1, x_2, \cdots. x_n$)
위 함수에서 $x_1, x_2, \cdots. x_n$은 함수 f의 인수들 입니다. 이 함수는 $R^n \rightarrow R^n$의 영역에서 이루어 집니다. 즉, n 차원의 실수 집합에서  n 차원의 실수 집합에 대응하는 함수를 나타내는 것입니다.
예를 들어 4차원 실수 집합을 1차원으로 대응시키는 함수는 다음과 같이 나타냅니다.
$R^4 \rightarrow R$
f(x) = $x_1+x_2-x_4^2$
위 함수는 각 항의 계수 벡터와 변수를 원소로 하는 벡터로 나타낼 수 있습니다.
$a= \left[\begin{array}{r}1\\1\\0\\-1 \end{array}\right], \quad x=\left[\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right]$
$f(x)= a^T x=\left[\begin{matrix}1&1&0&-1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{matrix}\right]$
위 형태는 벡터와 행렬 곱에서 앞 벡터의 열의 수와 뒤 벡터의 행의 수가 일치하여야 계산 될 수 있기 때문에 열벡터인 경우 앞 벡터는 전치시켜야 합니다.
위의 표현은 다음의 경우에서도 성립됩니다.
$f(\alpha x+\beta y)=a^T(\alpha x+\beta y)=\alpha  a^T x+ \beta a ^Ty=\alpha f(x)+ \beta f(y)$
$\alpha, \beta$: scalar
위 함수는 벡터들의 선형결합입니다. Affin 결합은 이러한 선형결합의 특별한 형태입니다. 즉, 다음과 같습니다.
$c_1v_1+ c_2v_2 + \cdots +c_nv_n$
위와 같은 선형결합에서 모든 계수의 합이 1인 경우를 $c_1+c_2+\cdots+c_n=1$을 Affin combination이라고 합니다.
이 Affin 결합의 집합은 S로 나타내며 affin hall or affin span이라하며 "aff S"으로 나타냅니다.
예를 들어 affin 결합  $y=c_1v_1+c_2v_2, c_1+c_2=1$ 에서 $c_2=t$인 경우 위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있지요.
$y=(1-t)v_1+tv_2$
위 식은 $t=0$의  경우 $y=v_1$ , $c_1=c_2$일 경우는 $ y=v_2$ 즉, 두 경우 모두 하나의 벡터를 나타냅니다. 그러나 이 경우들을 제외하고 y는 벡터 $v_1, v_2$를 포함하는 직선으로 설명할 수 있습니다.
$y=v_1+(v_2-v_1)t=p+tu$
$p=v_1, u=(v_2-v_1)$
위 식으로 나타낸 직선은 $(v_2-v_1)$의 배수를 포함하므로 Span{u}로 나타낼 수 있습니다. p는 이 선분 위에 있는 모든 점들을 이동시키는 역할을 합니다.

위 그림에서 나타낸 것과 같이 벡터 $v_1, v_2$로 생성될 수 있는 직선은 u를 기저로 하여 원점을 통과하는 직선을 $v_1$ 만큼 이동시킨 것과 같습니다. 그러므로 $y-v_1 = t(v_2-v_1)$이 됩니다.
여기서 y와 $y-v_1$의 관계는 벡터들의 affin 결합을 나타냅니다.
위의 과정은 다음과 같이 정리될 수 있습니다.
 $R^n$의 점 y가 $y-v_1$가 $v_2-v_1, \cdots, v_p-v_1$의 선형결합이면 벡터 $v_1, v_2, \cdots, v_p$의 affin combination입니다.
$y-v_1=c_2(v_2-v_1)+c_3(v_3-v_1)+ \cdots+c_p(v_p-v_1)\\=(c_2-\cdots-c_p)v_1+c_2v_2+\cdots+c_pv_p\\ y_1=(1-c_2-\cdots-c_p)v_1+c_2v_2+\cdots+c_pv_p$
위 식에서 affin combination이 되기 위해서는 계수의 합이 1이어야 하므로  $c_1=c_2-\cdots-c_p$이 된다. 그러므로 위 식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$y=c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_pv_p$
위 식에서 y는 $v_1, \cdots, v_p$으로 선형결합입니다. 그러므로 결과적으로 $y-v_1$은 $v_2-v_1, \cdots, v_p-v_1$의 선형결합입니다.

>>> import numpy as np
>>> import numpy.linalg as LA
>>> from sympy import *
1. 다음 4개의 벡터로 이루어진 y의 affin combination?
$v_1 =\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right], v_2=\left[\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right], v_3=\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right] , v_4= \left[\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right], y=\left[\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right]$
y의 affin combination을 위한 계수 $c_1, c_2, c_3$를 찾기 위해
$c_2(v_2-v_1)+c_3(v_3-v_1)+ c_4(v_4-v_1)=y-v_1$
>>> v1=np.array([[1],[2]]);v1
array([[1],
       [2]])
>>> v2=np.array([[2],[5]]);v2
array([[2],
       [5]])
>>> v3=np.array([[1],[3]]); v3
array([[1],
       [3]])
>>> v4=np.array([[-2],[2]]);v4
array([[-2],
       [ 2]])
>>> y=np.array([[4],[1]]); y
array([[4],
       [1]])
>>> v2_1=v2-v1;v2_1
array([[1],
       [3]])
>>> v4_1=v4-v1;v4_1
array([[-3],
       [ 0]])
>>> v4_1=v3-v1;v4_1
array([[0],
       [1]])
>>> y_v1=y-v1; y_v1
array([[ 3],
       [-1]])
이 결과로 부터 다음 식이 성립됩니다.
$\left[\begin{matrix}1&0&3\\3&1&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}c_1\\c_2\\c_3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right]$
위 식에서 해를 계산하기 위해 기약행사다리꼴 형식을 적용합니다.
>>> v=np.c_[v2_1, v3_1, v4_1]; v
array([[ 1,  0, -3],
       [ 3,  1,  0]])
>>> au=np.c_[v, y_v1];au
array([[ 1,  0, -3,  3],
       [ 3,  1,  0, -1]])
>>> Matrix(au).rref()
(Matrix([
[1, 0, -3,   3],
[0, 1,  9, -10]]), (0, 1))
위 결과에서 계수 $c_4$는 자유변수입니다. 그러므로 $c_1=1-c_2-c_3-c_4, c_2=3+3c_4, c_3=-10-9c_4$가 됩니다.
즉, 위 식은 $c_4$에 따라 다양한 선형결합이 이루어 집니다. 예를 들어
$c_4=0$ 일 경우
$y=8v_1+3v_2-10v_3$
$c_4=1$ 일 경우
$y=13v_1+6v_2-19v_3+v_4$
위 과정을 하나의 함수로 만들어 보면 다음과 같습니다.
def affinMatS(dat, seln):
    tn=list(np.arange(dat.shape[1]))
    tnSel=tn.pop(seln)
    tnM=dat[:,tn]
    tnSelM=dat[:,seln]
    t=tnM[:,0]-tnSelM
    for i in range(1, tnM.shape[1]):
        x=tnM[:,i]-tnSelM
        t=np.c_[t, x]
    return(t, Matrix(t).rref())

>>> A=np.c_[v1,v2,v3,v4, y];A #모든 벡터들을 원소로 하는 행렬 생성
array([[1, 2, 1, -2, Matrix([
[1, 0, -3,   3],
[0, 1,  9, -10]])],
       [2, 5, 3, 2, (0, 1)]], dtype=object)
>>> av, ay=affinMatS(A)
>>> av #$(v-2-v_1), \cdots$등의 새로운 벡터
array([[ 1,  0, -3,  3],
       [ 3,  1,  0, -1]])
>>> ay #$y-v_1$
(Matrix([
 [1, 0, -3,   3],
 [0, 1,  9, -10]]), (0, 1))

위 예제에서 이동시키기 위한  벡터 p 즉, $v_i$로 첫번째 벡터를 사용하였습니다. 그러나 이 벡터는 생성된 선형결합을 이동시키는 역할을 하는 것으로 위 벡터 들에서 임의적으로 선택이 가능합니다.
2. 다음 벡터들을 기반으로 하는 점 $p_1, p_2$의 affin combination?
다음 벡터들은 기저 벡터입니다. $B=\{b_1, b_2, b_3\}$
기저벡터라는 것은 이들을 기반으로 하는 선형결합은 선형독립임을 의미합니다. 즉, 유일한 해가 존재함을 나타냅니다.
$b_1=\left[\begin{matrix}4\\0\\3\end{matrix}\right], b_2=\left[\begin{matrix}0\\4\\2\end{matrix}\right], b_3=\left[\begin{matrix}5\\2\\4\end{matrix}\right], p_1=\left[\begin{matrix}2\\0\\0\end{matrix}\right], p_2=\left[\begin{matrix}1\\2\\2\end{matrix}\right]$
>>> b1=np.array([[4],[0],[3]]);b1
array([[4],
       [0],
       [3]])
>>> b2=np.array([[0],[4],[2]]);b2
array([[0],
       [4],
       [2]])
>>> b3=np.array([[5],[2],[4]]);b3
array([[5],
       [2],
       [4]])
>>> p1=np.array([[2],[0],[0]]);p1
array([[2],
       [0],
       [0]])
>>> p2=np.array([[1],[2],[2]]);p2
array([[1],
       [2],
       [2]])

>>> A=np.c_[b1,b2,b3,p1,p2 ];A 

array([[4, 0, 5, 2, 1],

       [0, 4, 2, 0, 2],

       [3, 2, 4, 0, 2]])

$p_1$에 대한 affin 결합의 경우 아래의 결과의 새로 생성된 벡터를 원소로 하는 행렬의 기약행 사다리꼴(y)로 부터 3행은 성립하지 않습니다. 

>>> x, y=affinMatS(A, 4)

>>> x 

array([[ 3, -1,  4,  1],

       [-2,  2,  0, -2],

       [ 1,  0,  2, -2]])

>>> y 

(Matrix([

 [1, 0, 2, 0],

 [0, 1, 2, 0],

 [0, 0, 0, 1]]), (0, 1, 3))

위 결과  y의 3행은 $c_1b_1+c_2b_2+c_3b_3=0+0+0=1$은 성립할 수 없으므로 모순된 식(inconsistent equation)이므로 Affin combination은 성립되지 않습니다. 그러나 $p_2$에 대한 경우 결과 y와 같이 유일해가 존재하므로 선형독립으로 선형결합이 이루어지며 각 계수의 합이 1이므로 (2/3+2/3-1/3=1) Affin combination이 성립합니다. 

>>> x, y=affinMatS(A, 3)

>>> x 

array([[ 2, -2,  3, -1],

       [ 0,  4,  2,  2],

       [ 3,  2,  4,  2]])

>>> y 

(Matrix([

 [1, 0, 0,  2/3],

 [0, 1, 0,  2/3],

 [0, 0, 1, -1/3]]), (0, 1, 2))

위 결과를 정리하면 다음과 같습니다.
$p_2-p_1=\frac{2}{3}(b_1-p_1)+\frac{2}{3}(b_2-p_1)-\frac{1}{3}(b_3-p_1)$