내용

• 가역적 그리고 독립
• 선형 독립과 종속 정리

선형 독립과 선형 종속

$\mathbb{R}$ 공간의 벡터들$(v_1, v_2, \cdots, v_p) $와 스칼라$(c_1, c_2,\cdots, c_p)$의 동차 선형 결합은 식 1과 같이 행렬 방정식의 형태로 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{align}\tag{1} \begin{matrix}c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_pv_p= 0\\\Downarrow \\\begin{matrix}\begin{bmatrix}v_{11}& v_{12}& \cdots&v_{1p}\\ v_{21}& v_{22}& \cdots &v_{2p}\\ \vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\v_{n1}& v_{n2}& \cdots &v_{np} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1\\c_2\\ \vdots \\c_p \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0 \end{bmatrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{align}$$

동차 선형 결합이 자명한 해(trivial solution)를 갖는다면 선형 독립(linear independent)라고 하고 위 식을 만족시키기 위한 자명하지 않은 해(nontrivial solution)을 갖는다면 선형 종속(linear dependent)이라고 합니다.

예)
  다음시스템의 선형 독립성을 결정합니다. $$\begin{aligned} &x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 0\\ &2x_1 + 5x_2 + x_3 = 0\\ &3x_1 + 6x_2 = 0 \end{aligned}$$

import numpy as np
import numpy.linalg as la
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

v1=np.array([[1],[2],[3]])
v2=np.array([[4],[5],[6]])
v3=np.array([[2],[1],[0]])
A=np.hstack([v1,v2,v3])
A

array([[1, 4, 2],
           [2, 5, 1],
           [3, 6, 0]])

np.round(la.det(A), 4)

-0.0

행렬 A는 3×3 정방 행렬이므로 행렬식을 계산할 수 있지만 그 결과는 0이므로 역행렬은 존재하지 않습니다. 이는 고유한 해가 없음을 의미합니다. 기약행사다리꼴(rref)을 적용하여 확인할 수 있습니다.

b=np.array([[0],[0],[0]])
au=np.hstack([A, b]); au

array([[1, 4, 2, 0],
           [2, 5, 1, 0],
           [3, 6, 0, 0]])

sp.Matrix(au).rref()[0]

$\color{navy}{\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]}$

위 결과에 의하면 2개의 선도 변수와 1개의 자유 변수가 존재합니다. 즉, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

x₁ = 2x₃, x₂ = -x₃

위 시스템은 변수 x₃에 따라 다양한 해를 가질 수 있습니다. 결과적으로 자명하지 않은 해를 가지므로 선형 종속입니다.

예)
 행렬 B의 선형 독립 여부를 결정하여 봅니다.

$$B=\left[\begin{matrix}0 & 1 & 4\\1 & 2 & -1\\5 & 8 & 0\end{matrix}\right]$$

행렬 B는 정방 행렬이므로 가역행렬이라면 함수 np.linalge.solve()에 의해 해집합을 계산할 수 있습니다.

B=np.array([[0,1,4],[1,2,-1],[5,8,0]]);B 

array([[ 0,  1,  4],
           [ 1,  2, -1],
           [ 5,  8,  0]])

round(la.det(B), 3)

-13.0

c=np.array([0,0,0]).reshape(-1,1); c

array([[0],
           [0],
           [0]])

la.solve(B, c)

array([[ 0.],
           [ 0.],
           [-0.]])

행렬 B의 행렬식은 0이 아닙니다. 이 결과는 B의 역행렬이 존재하며 그 행렬에 의한 선형 결합의 유일해가 존재함을 의미합니다. 이러한 결과는 그 선형 결합의 확대 행렬(augment matrix)에 대한 rref에서 자유 변수가 없는 것으로 확인됩니다. 결론적으로 위 행렬의 경우는 선형 독립입니다.

Bc=np.hstack([B, c]);Bc

array([[ 0,  1,  4,  0],
           [ 1,  2, -1,  0],
           [ 5,  8,  0,  0]])

sp.Matrix(Bc).rref()

(Matrix([
     [1, 0, 0, 0],
     [0, 1, 0, 0],
     [0, 0, 1, 0]]),
     (0, 1, 2))

정방 행렬 차원의 표준 행렬에 의한 선형 시스템은 미지수의 수와 식의 수가 동일합니다. 이러한 조건에서 표준 행렬의 역행렬의 존재 여부로 그 시스템의 독립성 여부를 판단할 수 있으므로 위 예들의 결과들을 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

가역적 그리고 독립

표준행렬이 정방행렬이고 가역적이면 다음과 동치입니다.

≡자명한 해(trivial solution)

≡선형 독립

예)
 다음 선형 시스템의 경우는 식의 수가 변수의 수보다 많은 상태로서 표준 행렬이 정방 행렬이 아닌 경우입니다. 선형 독립 여부를 결정하여봅니다.

$$\begin{align} &-3x_2 + 9x_3 = 0\\ &2x_1 + x_2 - 7x_3 = 0\\ &-x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 0\\ &x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 0 \end{align}$$

v1=np.array([[0],[2],[-1], [1]])
v2=np.array([[-3],[1],[4],[-4]])
v3=np.array([[9],[-7],[-5],[2]])
c=np.zeros([4,1])
V=np.hstack([v1,v2,v3]); V

array([[ 0, -3,  9],
           [ 2,  1, -7],
           [-1,  4, -5],
           [ 1, -4,  2]])

au=np.hstack([V, c])
sp.Matrix(au).rref()

(Matrix([
     [1, 0, 0, 0],
     [0, 1, 0, 0],
     [0, 0, 1, 0],
     [0, 0, 0, 0]]),
     (0, 1, 2))

위 결과에 의하면 선도변수가 3로서 위 식들의 변수의 수와 같습니다. 즉, 변수 x₁, x₂, x₃의 해는 모두 0의 경우만 존재합니다. 즉, 자명한 해를 가지므로 선형독립입니다.

예)
 다음 예는 변수의 수가 식의 수보다 많은 경우 입니다. 선형 독립 여부를 결정하여봅니다.

$$\begin{align}  &x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 0\\ &-2x_1 - 7x_2 + 5x_3 + x_4 = 0\\ &-4x_1 - 5x_2 + 7x_3 + 5x_4 = 0 \end{align}$$

v1=np.array([[1],[-2],[-4]])
v2=np.array([[4],[-7],[-5]])
v3=np.array([[-3],[5],[7]])
v4=np.array([[0],[1],[5]])
c=np.zeros([3,1])
V=np.hstack([v1,v2,v3,v4]); V

array([[ 1,  4, -3,  0],
           [-2, -7,  5,  1],
           [-4, -5,  7,  5]])

au=np.hstack([V, c])
sp.Matrix(au).rref()[0]

$\color{navy}{\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -3.0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -1.0 & 0\end{matrix}\right]}$

위 결과와 같이 확대행렬의 기약행사다리꼴에서 1개의 자유변수(x₄)가 존재합니다. 그러므로 나머지 변수는 그 자유변수 값에 따라 결정되어집니다. 즉, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

행렬 V에 대응되는 변수 벡터 x는 다음과 같이 4×1의 형태이어야 합니다. x₁ = x₄, x₂ = 0, x₃ = x₄

결론적으로 자명하지 않은 해(nontrivial solution)가 존재하므로 선형 종속 관계에 있습니다.

위 결과들은 다음과 같이 정리될 수 있습니다.

선형 독립과 종속

행의 수 > 열의 수 ∩ 변수 벡터의 요소수(미지수의 수) = 열의 수

→ 자명한 해를 가집니다.

→ 선형 독립

행의 수 < 열의 수 ∩ 식의 수 < 미지수의 수

→ 자명하지 않은 해를 가집니다.

→ 선형 종속