직교집합(Orthogonal Set)과 선형결합
ℝn 차원에서 식 1과 같이 내적이 0인 모든 벡터들의 집합 u1, u2, …, up를 직교집합(orthogonal set)이라고 합니다(직교벡터(Orthogonal vectors) 참조).
| $$u_i\cdot u_j=0,\quad i \ne j$$ | (식 1) |
예 1)
다음 벡터 집합이 직교 집합인지를 결정해봅니다.
$$u_1=\begin{bmatrix}3\\1\\1\end{bmatrix}\quad u_2=\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix} \quad u_3=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\\-2\\\frac{7}{2}\end{bmatrix}$$
u1=np.array([3.,1.,1.]).reshape(3,1)
u2=np.array([-1.,2.,1.]).reshape(3,1)
u3=np.array([-1/2,-2,7/2]).reshape(3,1)
u=[u1,u2, u3]
for i, j in itertools.combinations([0,1,2], 2):
print(np.dot(u[i].T,u[j]))
[[0.]] [[0.]] [[0.]]
위 결과에 의하면 벡터들 간의 내적이 모두 0이므로 세 벡터들은 모두 직교 상태입니다. 그 결과는 세 벡터를 나타낸 그림 1에서 확인할 수 있습니다.
위 벡터들로 이루어진 동차선형결합 성립여부를 결정합니다.
U=np.hstack([u1,u2,u3]) c=np.zeros([3,1]) au=np.hstack([U,c]) Matrix(au).rref()
(Matrix([ [1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0]]), (0, 1, 2))
확대 행렬(au)의 rref는 모든 열이 피벗 열임을 나타내며 이 시스템의 모든 변수는 선도변수(leading variable)입니다(기약행 사다리꼴 형태 (Reduced row echelon form, rref) 참조). 그러므로 표준행렬은 기저행렬로서 이 선형시스템은 자명한(trivial) 해를 가지는 선형 독립입니다.
위 세벡터의 결합으로 생성되는 다음 정방행렬 U를 생성합니다. 위 결과와 같이 선형독립인 경우 표준행렬인 U의 행렬식은 0이 아니며 역행렬이 존재해야 합니다. 다음 코드로 확인할 수 있습니다.
U=np.c_[u1, u2, u3] print(U)
[[ 3. -1. -0.5] [ 1. 2. -2. ] [ 1. 1. 3.5]]
print(la.det(U))
33.000000000000014
print(la.inv(U))
[[ 0.27272727 0.09090909 0.09090909] [-0.16666667 0.33333333 0.16666667] [-0.03030303 -0.12121212 0.21212121]]
이러한 결과는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
직교집합과 선형결합
0이 아닌 벡터들로 구성된 S = {u1, u2, …, up}가 직교 집합인 경우는 다음이 성립합니다.
- S는 선형독립
- S는 선형결합으로 생성되는 부분공간의 기저(기저(Basis) 벡터 참조)가 됩니다.
u1, u2, …, up가 직교집합인 경우 식 2와 같이 직교집합의 각 벡터와 특정한 스칼라(c1, …, cp)로 이루어지는 동차선형결합이 성립할 수 있습니다. 식 2에 사용된 스칼라들은 식 1을 적용하여 결정할 수 있습니다.
| $$0=c_1u_1+c_2u_2+\cdots + c_pu_p$$ | (식 2) |
식 3과 같이 식 2의 좌항과 우항에 u1을 곱한 경우는 0이 됩니다. 직교인 두 벡터의 내적은 0이므로 c1이 0이 되어야 합니다.
| \begin{align} 0\cdot u_1&=(c_1u_1+c_2u_2+\cdots + c_pu_p)\cdot u_1\\&=c_1(u_1u_1)+c_2(u_2u_1)+\cdots +c_p(u_pu_1)\\&=c_1(u_1u_1)\end{align} | (식 3) |
식 4와 같이 식 3의 좌항에 0벡터가 아닌 벡터를 적용하는 선형결합에서 c1을 계산할 수 있습니다.
| \begin{align} y\cdot u_1&=(c_1u_1+c_2u_2+\cdots + c_pu_p)\cdot u_1\\&=c_1(u_1u_1)+c_2(u_2u_1)+\cdots +c_p(u_pu_1)\\&=c_1(u_1u_1)\\ & \therefore \; c_1=\frac{y\cdot u_1}{u_1u_1}\end{align} | (식 4) |
식 4는 식 5와 같이 일반화 할 수 있습니다.
| $$c_j=\frac{y\cdot u_j}{u_ju_j}, \quad j=1, 2, \cdots, p$$ | (식 5) |
예 2)
예 1의 벡터 u1, u2, u3로 구성된 표준행렬과 다음 벡터 y의 선형결합은 가능합니까?
$$y=\begin{bmatrix}6\\1\\-8\end{bmatrix}$$
u1, u2, u3으로 구성된 행렬 U는 다음과 같습니다.
U=np.c_[u1, u2, u3] print(U)
[[ 3. -1. -0.5] [ 1. 2. -2. ] [ 1. 1. 3.5]]
행렬 U와 벡터 y의 선형결합은 식 6과 같습니다.
| $$\begin{bmatrix}3&-1&-\frac{1}{2}\\1&2&-2\\3&1&\frac{7}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\1\\-8\end{bmatrix}$$ | (식 6) |
예 1의 결과와 같이 표준행렬의 각 벡터는 상호 직교이므로 기저벡터입니다. 그러므로 식 6은 선형독립이며 유일한 해를 가질 것입니다.
print(U)
[[ 3. -1. -0.5] [ 1. 2. -2. ] [ 1. 1. 3.5]]
y=np.array([6,1,-8]).reshape(3,1) print(y)
[[ 6] [ 1] [-8]]
행렬 U가 정방행렬이고 기저행렬이므로 행렬식은 0이 아니므로 역행렬을 사용하여 해를 결정할 수 있습니다. numpy.linalg.solve() 함수를 적용합니다.
la.det(U).round(3)
33.0
print(la.solve(U,y))
[[ 1.] [-2.] [-2.]]
다음과 같이 정리할 수 있습니다.
직교인 벡터들로 구성된 표준행렬에 의한 선형결합
- 선형 독립
- 일대일 반응 즉, 단사(injective)
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