[Linear Algebra] 역행렬(Inverse matrix)

역행렬(Inverse matrix)

관련된 내용

• 기약행 사다리꼴 형태 (Reduced row echelon form, rref)
• 행렬식

식 1과 같이 두 행렬의 행렬곱 결과가 항등행렬을 생성한다면 행렬 B는 행렬 A의 역행렬(inverse matrix)이 되며 A^-1로 나타냅니다. 물론 역도 성립합니다.

A · B = I → B = A-1

(식 1)

역행렬을 가지는 행렬을 가역행렬(reversible matrix)이라고 하며 np.linalg.inv() 함수에 의해 계산할 수 있습니다.

a=np.array([[1,3,-5], [-2,7,8], [4,0,6]])
print(a)

[[ 1  3 -5]
[-2  7  8]
[ 4  0  6]]

a_inv=la.inv(a) # a의 역행렬   
print(a_inv.round(2))

[[ 0.134 -0.057  0.188]
 [ 0.14   0.083  0.006]
 [-0.089  0.038  0.041]]

위 코드의 결과 a_inv의 각 요소를 반올림을 실행하기 위해 .round() 메소드를 적용하였습니다.

aa_inv=a.dot(a_inv)
print(aa_inv.round(2))

[[ 1.  0. -0.]
 [ 0.  1.  0.]
 [ 0. -0.  1.]]

이 역행렬은 식 2와 같은 연립방정식의 해를 계산하기 위해 사용됩니다.

$$\begin{aligned}x+y+2z&=9\\2x+4y-3z&=1\\3x+6y-5z&=0 \end{aligned} \Rightarrow \begin{bmatrix}1&1&2\\2&4&-3\\3&6&-5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\1\\0\end{bmatrix}$$

(식 2)

식 2의 우항은 식 3과 같이 방정식들의 계수행렬과 변수벡터 그리고 각 식의 결과인 상수벡터로 분리하여 나타낼 수 있습니다.

$$A=\begin{bmatrix} 1& 1& 2\\2& 4& -3\\3& 6& -5\end{bmatrix}, \quad b=\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}, \quad c=\begin{bmatrix} 9\\1\\0\end{bmatrix}$$

(식 3)

즉, 위 연립방정식은 미지수 벡터(b)와 각 미지수에 대응하는 계수 행렬(A)사이의 행렬곱의 결과인 상수벡터(c)로 구성되어 있습니다. 계수행렬을 표준행렬이라고 합니다.

계수행렬의 역행렬이 존재한다면 식 4에서 나타낸 과정에 의해 각 미지수의 해를 계산할 수 있습니다.

A·b	= c	(식 4)
⇓
A-1·A·b	= A-1·c
⇓
b	= A-1·c

다음 코드는 해를 결정하기 위해 식 4에서 제시한 절차에 따라 작성한 것입니다.

A=np.array([[1,1,2], [2,4,-3], [3,6,-5]]) 
c=np.array([[9],[1],[0]]) 
A_inv=la.inv(A) 
re=A_inv.dot(c) 
print(re)

[[1.]
 [2.]
 [3.]]

표준행렬(계수 행렬)이 가역적일 때 위 코드들은 numpy.linalg 모듈의 함수 solve(A, b)으로 대신할 수 있습니다.

print(la.solve(A, c))

[[1.]
 [2.]
 [3.]]

위 방정식들의 해는 유일합니다. 즉, 세 개의 식들은 하나의 좌표에서 만납니다. 이러한 상태를 선형 독립(linear independence)이라고 합니다. 이 결과와는 다르게 방정식들이 여러 좌표에서 교차되는 상태를 선형 종속(linear dependence)이라고 합니다.

위에서 소개한 미지수의 해를 결정하는 과정은 표준 행렬이 정방 행렬이고 역행렬이 존재한다는 가정에 의해 진행되며 위 경우 각 미지수의 해는 하나만이 존재합니다. 그러나 이러한 조건을 만족하지 않는 표준 행렬일 경우 미지수의 수와 방정식의 수가 일치하지 않습니다. 즉, 표준 행렬은 정방 행렬이 아닙니다. 이러한 경우 역행렬은 위의 과정으로 산출될 수 없습니다. 대신에 가우스 조르당 소거법(Gaussian Jordan elimination method)을 사용하여 역행렬을 계산할 수 있습니다. 이 소거법은 사다리꼴 형태의 행렬(row echelon form)을 반환합니다.