[Linear Algebra] 대칭행렬(Symmetric matrix)

대칭행렬(Symmetric matrix)

식 1와 같이 행렬의 대각 요소들을 기준으로 양쪽의 요소가 동일한 정방 행렬을 의미합니다.

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& b& c\\ b& a_{22}& d\\ c& d& a_{33}\end{array}\right]$$

(식 1)

대칭 행렬은 다음 코드와 같이 삼각 행렬과 그 전치행렬과의 합으로 생성할 수 있습니다.

np.random.seed(4)
x=np.random.randint(-10, 10, (3,3))
y=np.random.randint(-10, 10, (3,3))
A=np.triu(x)+np.triu(x).T
print(A)

[[ 8 -5 -9]
 [-5 -4  8]
 [-9  8  6]]

B=np.tril(y)+np.tril(y).T
print(B)

[[ -4   2  -7]
 [  2  -8 -10]
 [ -7 -10  -2]]

대칭행렬의 특성

대칭 행렬 A, B과 스칼라 k 사이에 다음의 관계가 성립합니다.

• A = A^T, 즉, 대칭 행렬과 그 행렬의 전치 행렬은 같습니다.
• 두 대칭행렬 A ± B는 대칭 행렬입니다.
• 대칭행렬의 스칼라 곱 역시 대칭 행렬입니다.
• (AB)^T = B^TA^T

print(A==A.T)

[[ True  True  True]
 [ True  True  True]
 [ True  True  True]]

print(A+B)

[[  4  -3 -16]
 [ -3 -12  -2]
 [-16  -2   4]]

print(3*A)

[[ 24 -15 -27]
 [-15 -12  24]
 [-27  24  18]]

일반적으로 대칭 행렬인 A와 B의 곱은 대칭 행렬이 되지 않습니다. 그러나 두 대칭 행렬의 곱의 교환 법칙이 성립하는 경우 즉, AB = BA인 경우 다음 식이 성립하며 그 곱 역시 대칭행렬이 됩니다(식 2).

$$\begin{array}{rl}(AB{)}^T& =B^T{A}^T\\ & =(BA{)}^T\\ & =AB\\ \text{조건 1}& A,B:\text{대칭행렬}\\ \text{조건 1}& AB=BA\end{array}$$

(식 2)

A=np.array([[1,2],[2,3]])
B=np.array([[-4,3],[3,-1]])
AB=A@B
print(AB)

[[2 1]
 [1 3]]

print(B@A)

[[2 1]
 [1 3]]

ABt=AB.T
print(ABt==AB)

[[ True  True]
 [ True  True]]

A가 가역적(역행렬을 가지는 행렬) 대칭 행렬이면 역행렬 A^-1 역시 대칭 행렬입니다.

가역행렬 여부는 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우입니다. 행렬식과 역행렬은 각각 numpy.linalg 모듈의 det()와 inv() 함수로 계산할 수 있습니다(역행렬과 행렬식 참조).

A=np.array([[-10, -1, 3], [ -1, 6, 1], [ 3, 1, -6]])
np.around(la.det(A), 3)

316.0

A_inv=np.around(la.inv(A), 2)
print(A_inv)

[[-0.12 -0.01 -0.06]
 [-0.01  0.16  0.02]
 [-0.06  0.02 -0.19]]