행렬식(Determinant)
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역행렬이 존재한다는 것은 선형 시스템에서 유일한 해집합이 존재한다는 것을 의미합니다. 즉, 표준 행렬에 대한 역행렬의 존재는 유일한 해집합을 가질 수 있는 필수 조건입니다. 반대로 표준 행렬의 역행렬이 존재하지 않는다면 다양한 해집합들이 존재하거나 해가 존재하지 않는 상태입니다. 역행렬이 존재하지 않은 행렬을 특이 행렬(singular matrix)이라고 합니다.
행렬은 그 행렬로부터 계산할 수 있는 행렬식(determinant)이 0인 경우 역행렬이 존재하지 않는 특성을 가지고 있습니다. 즉, 행렬식은 어떤 행렬에 대해 특이 행렬 여부를 결정할 수 있는 근거가 됩니다.
행렬식은 det(행렬) 또는 |행렬|과 같이 나타냅니다.
2×2 행렬의 행렬식은 식 1과 같이 쉽게 계산이 됩니다.
| $$A=\begin{bmatrix}a& b\\c & d \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det(A)}=\vert{A}\vert =\vert{ad -bc}\vert$$ | (식 1) |
2×2 이상의 형태를 가진 정방 행렬의 역행렬은 소행렬식과 여인수 방법으로 계산할 수 있습니다. 이 방법은 n×n의 행렬로부터 2×2 차원의 부분 행렬을 추출하고 식 1의 행렬식 계산을 반복하여 전체 행렬의 행렬식을 계산하는 것으로 n의 값이 커질수록 계산은 매우 번거롭습니다. 대신, 모든 정방행렬의 행렬식은 numpy.linalg.det() 함수를 사용하여 계산할 수 있습니다.
A=np.array([[1,1,2], [2,4,-3], [3,6,-5]]) print(A)
[[ 1 1 2] [ 2 4 -3] [ 3 6 -5]]
AInv=la.inv(A) print(AInv)
[[ 2. -17. 11.] [ -1. 11. -7.] [ 0. 3. -2.]]
A_det=la.det(A) round(A_det, 3)
-1.0
행렬식의 특징
1. 정방행렬 A와 그 전치행렬 AT의 행렬식은 같습니다(식 2).
| det(A) = det(AT) | (식 2) |
A=np.array([[1,2,3], [-4,4,6], [7,-8,9]]) round(la.det(A), 3)==round(la.det(A.T),3) re
True
2. 정방행렬 A의 한 행 또는 한 열의 모든 요소가 0인 경우 행렬식은 0이 됩니다(식 3).
| det(A) = 0 | (식 3) |
A[2,:]=[0,0,0] print(A)
[[ 1 2 3] [-4 4 6] [ 0 0 0]]
la.det(A)
0.0
3. 두 정방행렬 A와 B의 특정한 행이 배수관계이고 나머지 모든 요소들이 같다면 식 4가 성립합니다.
| B[r, :] = k × A[r, :] → det(B) = k × det(B) | (식 4) |
A=np.array([[2, 9, 5], [2, 9, 7], [7, 2, 8]]) B=np.array(A, copy=True) B[0,:]=2*B[0,:] list(map(round, [2*la.det(A), la.det(B)]))
[236, 236]
4. 정방 행렬 A의 두 행이 비례하면 행렬식은 0이 됩니다.
A=np.array([[2, 9, 5], [2, 9, 7], [4, 18, 14]]) print(A)
[[ 2 9 5] [ 2 9 7] [ 4 18 14]]
la.det(A)
0.0
5. 정방 행렬 A가 삼각 행렬이라면 행렬식은 주대각원소의 곱과 같습니다.
A=np.array([[1,6, 10], [0, 5, 9], [0,0, 12]]) print(A)
[[ 1 6 10] [ 0 5 9] [ 0 0 12]]]
la.det(A).round(3)
60.0
np.prod(np.diag(A))
60
위 코드에서 사용한 np.diag(x) 함수는 행렬 x의 대각요소들을 반환하고 np.prod(x)는 객체 x의 곱을 계산합니다.
6. 정방행렬 A가 가역행렬이 되기 위한 필요충분조건은 식 5와 같습니다.
| det(A) ≠ 0 | (식 5) |
7. 동일한 형태의 두 정방행렬 A, B에서 식 6의 관계가 성립합니다.
| det(AB) = det(A)·det(B) | (식 6) |
A=np.random.randint(10, size=(4,4)) B=np.random.randint(10, size=(4,4)) round(la.det(np.dot(A,B)), 2) == round(la.det(A)*la.det(B), 2)
True
8. 정방행렬 A가 가역행렬이면 식 7이 성립합니다.
| det(A-1) = | 1 | (식 7) |
| det(A) |
A=np.array([[1,6, 10], [0, 5, 9], [0,0, 12]]) A_inv=la.inv(A) round(la.det(A_inv), 3)==round(1/la.det(A), 3)
True
9. 행렬식은 행렬에 의해 형성되는 도형의 넓이를 나타냅니다.
A=np.array([[3,0],[2,1]]) print(A)
[[3 0] [2 1]]
round(la.det(A),3)
3.0
그림 1은 위 행렬 A에 의해 생성되는 도형을 나타낸 것으로 그 도형의 면적을 계산하기 위해 그것을 포함하는 정사각형을 설정한 것입니다. 식 8과 같이 계산한 행렬 A에 의해 생성된 면적은 위의 행렬식의 값과 같음을 알 수 있습니다.
| □CODE = □AOBE − △AOC − △DBE ⇒ 9 − | 3·2·2 | = 3 | (식 8) |
| 2 |
fig, ax=plt.subplots(figsize=(2,2))
ax.plot([0, 0] , [0, 3], alpha=0.7, color="brown")
ax.plot([0, 3] , [0, 0], alpha=0.7, color="brown")
ax.plot([3,3] , [0, 3], alpha=0.7, color="brown")
ax.plot([0, 3] , [3, 3], alpha=0.7, color="brown")
ax.arrow(0,0, 3, 2, head_width=0.07, lw=3, color="g")
ax.arrow(0,0, 0, 1, head_width=0.07,lw=3, color="g")
ax.arrow(0,1, 3, 2, ls="dotted", color="g")
ax.arrow(3, 2, 0, 1, ls="dotted", color="g")
ax.spines['left'].set_position(("data", 0))
ax.spines['bottom'].set_position(("data", 0))
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.set_xticks([1,2,3])
ax.set_yticks([1,2,3])
ax.grid(True)
plt.show()
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