• 함수의 정의
• 함수의 정의역(domain)과 치역(range)
• 역함수(Inverse function)

함수(Function)

함수의 정의

식에 입력되는 값에 대응하는 정확히 하나의 수를 생성한다면 그 식을 함수라고 합니다.

예)
  1. 다음 식은 함수?

1) y=x2+1

한개의 값 x에 대응되는 y 역시 하나입니다. 그러므로 함수입니다.

2) y2=x+1

한개의 값 x에 대응되는  y의 값은 한 개 이상일 수 있습니다. 예로 x=3일 경우 y값은 두개 입니다.
y2 = 4 → y=2 or -2
그러므로 이 식은 함수가 아닙니다.

import numpy as np 
from sympy import * 

일반적으로 함수는 f(x)로 나타냅니다.

f(x) = 2x²-5x+3

식 f(x)에서 x=3 인 경우의 대응되는 값은 다음과 같이 하나입니다.

f=2*x**2-5*x+3
f.subs(x, 3)

6

위 코드와 같이 수학의 수식을 표현하고 계산하기 위해 sympy 패키지를 사용합니다.

함수의 정의역(domain)과 치역(range)

정의역은 함수에 전달할 수 있는 모든 값의 범위이며 함수로 전달되는 각 값에 대응하는 결과를 치역이라고 합니다. 예를들어

f(x) =5x-3의 경우 이 함수 x값에 전달할 수 있는 값들과 이 함수에 의해 생성되는 결과의 범위는 다음과 같습니다.

Domain:$(-\infty, \infty)$

range: $(-\infty, \infty)$

$g(x)=\sqrt{4-7t}$에서 변수 t에 전달할 수 있는 수는 한정되어 있습니다. 즉, 제곱근의 수는 0을 포함하는 양수이어야 합니다. 즉,

$4-7t \geq 0 \rightarrow t \leq \frac{4}{7} $

Domain: $\left( -\infty , \frac{4}{7} \right]$

구간을 표시할 때 괄호'( )'와 대괄호'[ ]'를 사용합니다. 대괄호는 폐구간을 나타내는 것으로 구간의 경계부분이 포함되지만 괄호는 포함되지 않음을 의미합니다.

• (a, b) == a < x < b
• [a, b] == a ≤ x ≤ b

예)
  $f(x)=\frac{x-4}{x^2-2x-15}$의 정의역?

위 함수가 성립하기 위해서는 분모가 0이 아니어야 합니다.

x=symbols('x')
A=x**2-2*x-15
factor(A) #식 A를 인수분해

$\color{navy}{\left(x - 5\right) \left(x + 3\right)}$

solve(A) # solve()는 방정식의 해를 계산하는 함수입니다.

[-3, 5]

위 결과에 의하면 x값이 -3, 5일 경우 분모는 0이 됩니다. 그러므로

Domain: -3과 5를 제외한 모든 수

예)
  $h(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$의 정의역?

분모가 0이아니어야 하고 제곱근은 0이거나 양수이어야 합니다. 즉,

h=x/(sqrt(x**2-9))
h

$\color{navy}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}}$

n, d=fraction(h) #분자와 분모를 분리하여 반환
n, d

(x, sqrt(x**2 - 9))

solve(d)

[-3, 3]

위 결과에 의하면 식 h의 분모는 x=3, -3의 경우 0이 됩니다. 그러므로 이 식의 정의역은 다음과 같습니다.

Domain : (-∞, -3) and (3, ∞)

역함수(Inverse function)

(f º g)(x)=f(g(x))

위와 같은 합성함수의 계산에서 순서는 중요합니다.

예)
 f(x) = 3x²-x+10, g(x) = 1-20x에서 다음의 합성함수를 계산

1) (f º g)(5)

f=3*x**2-x+10
g=1-20*x
k=g.subs(x, 5)
k

-99

f.subs(x, k)

29512

2) (f º g)(x)=f(g(x))

expand(f.subs(x, g))

$\color{navy}{1200 x^{2} - 100 x + 12}$

3) (g º f)(x)=g(f(x))

expand(g.subs(x, f))

$\color{navy}{- 60 x^{2} + 20 x - 199}$

그러나 다음과 같이 순서에 상관없이 같은 결과를 나타내는 특별한 합성함수도 존재합니다.

f=3*x-2
g=1/3*x+2/3
expand(f.subs(x, g))

x

expand(g.subs(x, f))

1.0 x

위 3)의 결과는 두 함수의 연산 순서를 바꾸어도 결과는 같습니다. 이러한 관계를 보이는 함수를 역함수(inverse function)이라고 합니다. 즉,

(f º g)(x) = x and (g º f)(x) = x

이러한 관계는 다음과 같이 나타냅니다.

• 함수 g(x)는 f(x)의 역함수: f(x) = g^-1(x)
• 함수 f(x)는 g(x)의 역함수: g(x) = f^-1(x)

위 표시에서 "-1"은 다음 식과 같은 역수가 아닙니다. 즉,

$$f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}$$

그러므로 역함수를 생성하기 위해서는 결합함수를 사용하여 계산할 수 있습니다.

예)
 f(x) = 3x-2의 역함수?

f(g(x))=x에서 g(x)=y라고 하면 f(y)=3y-2=x의 식으로 부터 y를 계산할 수 있습니다.

$$y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}=f^{-1}(x)$$

위 관계 즉, 함수와 그 함수의 역함수를 그래프로 그려봅니다.

import matplotlib.pyplot as plt

x=np.linspace(0, 100, 1000)
f=3*x-2
y=x
fi=x/3+2/3
plt.figure(dpi=100)
plt.plot(x, f, label="f(x)=3x-2")
plt.plot(x, (f+fi)/2, '--', label=r"$\frac{f+fi}{2}$")
plt.plot(x, fi, label=r"$f^{-1}(x)=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}$")
plt.legend(loc="best")
plt.show()

예)
 $g(x)=\sqrt{x-3}$의 역함수?

$$\sqrt{y-3}=x \rightarrow y-3=x^2 \rightarrow y=x^2+3=g^{-1}(x)$$

x, y=symbols('x y')
fx=sqrt(x-3)-y
fx

$\color{navy}{- y + \sqrt{x - 3}}$

fx_inv=solve(fx, x)
fx_inv

[y**2 + 3]

예)
 $h(x)=\frac{x+4}{2x-5}$의 역함수?

h(h^-1(x)) = x의 식에서 h^-1(x)을 y로 하면 다음과 같이 계산됩니다.

$$\begin{align}&\frac{y+4}{2y-5}=x \\ &\rightarrow y+4=2xy-5x \\ &\rightarrow (2x-1)y=5x+4 \\ &\rightarrow y=\frac{5x+4}{2x-1} \\ &h(h^{-1}(x))=\frac{\frac{5x+4}{2x-1}+4}{2\frac{5x+4}{2x-1}-5}=x \end{align}$$

fx=(x+4)/(2*x-5)-y
fx

$\color{navy}{- y + \frac{x + 4}{2 x - 5}}$

fx_inv=solve(fx, x)
fx_inv

[(5*y + 4)/(2*y - 1)]

h=(x+4)/(2*x-5)
h_1=(5*x+4)/(2*x-1)
h.subs(x, h_1)

$\color{navy}{\frac{4 + \frac{5 x + 4}{2 x - 1}}{-5 + \frac{2 \left(5 x + 4\right)}{2 x - 1}}}$

factor(h.subs(x, h_1))

x