내용
sympy operation
symbols
sympy에서 문자를 심벌로 사용하기 위해서는 사용전에 반드시 정의되어야 합니다. 심벌을 정의하기 위해 symbols()를 사용하는데 여러개의 심벌들을 동시에 정의할 수 있습니다.
from sympy import *
x=symbols('x')
x+1
x + 1
y, z=symbols('y z')
type(y)
sympy.core.symbol.Symbol
심벌은 문자열로 지정이 가능합니다.
crazy =symbols('unrelated')
crazy+1
unrelated + 1
symbols() 함수에 의해 정의한 일반 객체의 이름으로 사용된 문자와는 구분됩니다. 다음 코드에서 symbol로 정의된 x 즉, sympy 식에 사용된 심벌 x와 2가 할당된 객체 이름의 x와는 구분됨을 나타내고 있습니다.
x= symbols('x') #심벌로 x
expr=x+1
expr
x + 1
x=2 #객체이름으로 x x + 3
5
sympy에서 생성한 식의 심벌에 특정한 수를 대입하기 위해서는 .subs() 메소드를 적용합니다.
x=symbols('x')
expr=x+1
expr
x + 1
expr.subs(x, 4)
5
등호 기호
python에서 '='는 이 기호를 기준으로 오른쪽의 값을 왼쪽으로 할당함을 의미합니다. sympy 역시 동일한 의미로 작동됩니다. '같다'의 의미로는 ‘==’를 사용하고 bool형 즉, True, False의 결과를 반환합니다.
x=symbols('x')
expr = x+1
expr==3
False
expr1=expr.subs(x, 2) expr1
3
expr1==3
True
sympy에서 식(expression)을 생성하는 것은 그 객체를 특정한 이름(공간)에 할당하는 것입니다. 그러므로 x+1=4는 두개의 객체들이 결합된 것입니다. 즉, 이를 코드로 표현하기 위해서는 다음과 같습니다.
eq1=x+1 eq2=4 eq1, eq2
(x + 1, 4)
위 두 식이 같음을 표시해야 합니다. 이러한 표현은 Eq() 함수를 사용합니다.
Eq(eq1, eq2)
x + 1 = 4
Eq(x + 1, 4)
x + 1 = 4
==는 값 뿐만 아니라 sympy객체의 구조 동일성 여부를 판단할 수 있습니다. 다음 코드와 같이 우항과 좌항은 결국 동일한 식이지만 그 구조에서 차이를 보이므로 False가 반환됩니다.
eq1=(x+1)**2 eq2=x**2+2*x+1 eq1==eq2
False
결과적으로 sympy는 심벌을 사용하여 식을 표현하는 것으로 이들을 평가하기 전까지는 단지 문자형일 뿐입니다. 이것은 eq1, eq2 두 객체의 연산에 의해 확인 할 수 있습니다.
eq1-eq2$\quad \color{navy}{- x^{2} - 2 x + \left(x + 1\right)^{2} - 1}$
위 결과는 정리되지 않은 상태입니다. 이를 정리하여 즉, 연산하기 위해 simplify()함수를 적용합니다. 결과적으로 이 함수는 전개된 식을 연산하여 간단하게 나타내기 위해 사용할 수 있습니다.
simplify(eq1-eq2)
0
또한 이 두 식이 명시적으로 같음을 나타내기 위해서 Eq() 함수를 사용할 수 있습니다.
Eq(eq1, eq2)$\quad \color{navy}{\left(x + 1\right)^{2} = x^{2} + 2 x + 1}$
위에서 ==는 sympy의 식들은 평가하기 전에 symbol을 문자로 인식하므로 eq1, eq2가 다름으로 결정하였습니다. 그러나 이들을 계산 가능한 symbol로 간주하여 판단하는 equals() 메소드를 사용하면 올바른 결과가 반환됩니다.
eq1.equals(eq2)
True
a=cos(x)**2-sin(x)**2 b=cos(2*x) simplify(a-b)
0
a==b
False
a.equals(b)
True
^, &, 그리고 /
^은 배타적 논리(Xor()) 연산을 실행합니다.
a=[True, False]
[f"{i} ^ {j}: {i ^ j}" for i in a for j in a]
['True ^ True: False',
'True ^ False: True',
'False ^ True: True',
'False ^ False: False']
[f"{i} ^ {j}: {Xor(i,j)}" for i in a for j in a]
['True ^ True: False',
'True ^ False: True',
'False ^ True: True',
'False ^ False: False']
/는 나눗셈을 수행하는 연산을 표현하는 것으로 일반적인 python에서와 같습니다. sympy에서는 두수의 나눗셈을 기호화 하기 위해 Rational(분자, 분모) 또는 Rational(분자/분모) 메소드를 사용합니다. 이 메소드의 경우 분수형태로 결과를 반환합니다.
1/2
0.5
Rational(1, 2)$\quad \color{navy}{\frac{1}{2}}$
Rational('1/2')
$\quad \color{navy}{\frac{1}{2}}$
x+Rational(1/2)$\quad \color{navy}{x + \frac{1}{2}}$
기본 연산
대체(substitution)
기호화된 식을 연산하기 위해서는 먼저 심벌에 어떤 값을 부여해야 합니다. 이것을 위해서 subs(변수, 값) 메소드를 사용합니다.
x, y, z=symbols('x y z')
expr=cos(x)+1
expr
$\quad \color{navy}{\cos{\left(x \right)} + 1}$
expr.subs(x, y)$\quad \color{navy}{\cos{\left(y \right)} + 1}$
expr.subs(x, 30)$\quad \color{navy}{\cos{\left(30 \right)} + 1}$
subs() 메소드의 특성은 다음과 같습니다.
1) 식을 평가하기 위해 사용합니다. 다음의 경우는 x에 0을 지정함으로서 식을 계산합니다.
expr.subs(x, 0)$\quad \color{navy}{2}$
2) 어떤 식을 다른 식으로 대체하기 위해 사용합니다.
ex=x**y ex$\quad \color{navy}{x^{y}}$
ex=ex.subs(y, x**y) ex$\quad \color{navy}{x^{x^{y}}}$
3) 어떤 식을 단순화하기 위해 사용합니다. 예를 들어 sin(2x)+cos(2x)의 식에서 sin(2x)=2sin(x)co(x), cos(2x)=2cos(x)-1로 간단하게 정리될 수 있습니다. 이러한 삼각함수의 변환은 expand_trig()함수를 사용할 수 있지만 이 함수는 전달되는 모든 식을 변환하여 반환합니다.
ex=sin(2*x)+cos(2*x) ex$\quad \color{navy}{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}$
expand_trig(ex)$\quad \color{navy}{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}$
만약 위 식의 첫번째 항만을 변화하고자 할 경우는 위 함수를 사용할 수 없습니다. 이 경우 subs() 메소드를 사용할 수 있습니다.
ex.subs(sin(2*x), 2*sin(x)*cos(x))$\quad \color{navy}{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}$
4)subs() 메소드에 인수를 다음과 같이 전달하여 여러 변수에 대한 대체 연산을 동시에 실시할 수 있습니다.
- subs([(x1, value1), (x2, vlaue2), …])
- subs({x1:value1, x2:value2, …})
ex=x**3+4*x*y+-z ex.subs([(x,2), (y,4), (z, 0)])$\quad \color{navy}{40}$
ex.subs({x:2, y:4, z:0})
$\quad \color{navy}{40}$
문자열을 sympy 식으로 전환
문자열을 sympy 표현식(expression)으로 전환하기 위해 sympify() 함수를 사용합니다.
str_eq='x**2+3*x-1/2' str_eq
'x**2+3*x-1/2'
eq=sympify(str_eq) eq$\quad \color{navy}{x^{2} + 3 x - \frac{1}{2}}$
eq.subs(x, 2)$\quad \color{navy}{\frac{19}{2}}$
evalf, N
숫자로 표현된 식을 평가하여 부동소수(floating point)로 나타내기 위해 evalf(유효자리수) 메소드 또는 N(식, 유효자리수) 함수를 사용합니다. 이 메소드와 함수에서 유효자리수를 전달하지 않은 경우 기본값인 15에 대응하는 결과를 반환합니다.
eq=sqrt(8) eq$\quad \color{navy}{2 \sqrt{2}}$
eq.evalf(), N(eq)
(2.82842712474619, 2.82842712474619)
pi.evalf(3), N(pi, 3)
(3.14, 3.14)
삼각함수와 같이 특정한 표현식에 값을 전달하여 계산 결과를 유도하기 위해 subs() 메소드를 사용하는 경우 그 결과는 수학적 기호로 나타냅니다. 즉, 모든 경우가 숫자화되어 반환되지는 않습니다. 다음의 경우 cos()에 값을 전달하였지만 결과는 수치가 아닌 cos(value)의 식으로 반환됩니다. 이러한 경우 역시 evalf()함수로 그 값을 평가할 수 있습니다.
eq=cos(2*x) eq.subs(x, 30)$\quad \color{navy}{\cos{\left(60 \right)}}$
eq.subs(x, 30).evalf(3), N(eq.subs(x, 30), 3)
(-0.952, -0.952)
evalf() 함수와 subs() 메소드를 같이 사용하여 연산을 수행할 수 있습니다. 이 경우 전달하는 인수는 사전(dictionary)형식을 취해야 합니다.
eq.evalf(subs={x: 30})
-0.952412980415156
반환값에 에러항이 포함되는 경우 그 에러항을 제거하기 위해 evalf()메소드 내의 chop 매개변수를 사용합니다.
one=cos(1)**2+sin(1)**2 one.evalf()$\quad \color{navy}{1.0}$
one-1$\quad \color{navy}{-1 + \cos^{2}{\left(1 \right)} + \sin^{2}{\left(1 \right)}}$
(one-1).evalf()$\quad \color{navy}{-4.0 \cdot 10^{-124}}$
(one-1).evalf(chop=True)$\quad \color{navy}{0}$
lambdify
sympy 표현식에 여러가지의 값을 전달하여 평가하기 위해 eval()과(또는) subs()를 반복문에 적용하여 실행할 수 있습니다.
import numpy as np import math
a=np.arange(10)
eq=sin(x)
[N(eq.evalf(subs={x:i}), 3) for i in a]
[0, 0.841, 0.909, 0.141, -0.757, -0.959, -0.279, 0.657, 0.989, 0.412]
위 방법외에 eq(sympy 식)를 함수로 만들어 사용할 수도 있습니다. 이 변환은 lambdify(식의 심벌, 식, 연산을 위해 사용하는 모듈이름) 함수를 사용합니다.
다음 코드는 sympy 식 eq를 numpy 타입의 함수로 변환한 것입니다.
f=lambdify(x, eq, "numpy") np.around(f(a), 3)
array([ 0. , 0.841, 0.909, 0.141, -0.757, -0.959, -0.279, 0.657,
0.989, 0.412])
위 식 eq를 math 모듈을 사용하기 위해서는 다음과 같이 lambdify()에서 모듈의 이름을 변경하면 됩니다.
f=lambdify(x, eq, "math") round(f(0.2), 3)
0.199
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