복소수(complex number)

import numpy as np

제곱근의 경우 제곱근내의 수는 양수이어야 계산이 이루어집니다.

$$\sqrt{9}=9^\frac{1}{2}=3$$

그러나 아래와 같이 음수의 제곱근일 경우 실수로 계산할 수 없습니다. 수학에서 $\sqrt{-1}=i$로 정의 하며 i를 포함하는 수는 복소수(complex number)라고 합니다. 파이썬에서는 j로 표현합니다.

$$\sqrt{-9}=\sqrt{9}\sqrt{-1}=9^\frac{1}{2}\sqrt{-1}=3i$$

복소수

$$\tag{식 1}a+bi\;\text{또는}\; a+bj$$

• a: 실수부분(real part)
• b: 허수부분 (imaginary part)
• a,b는 정수, 유리수, 분수 등 다양한 형태의 수입니다.

또한 복소수의 허수부분 부호가 반대인 경우를 켤레복소수(conjugate complex number)라고 하며 일반적으로 복소수 z의 켤레복소수는 $\bar{z}$과 같이 객체 위의 선(overline)으로 나타냅니다. 즉 $a+bi$의 켤레복소수는 $a-bi$가 됩니다.

파이썬에서 복소수는 j로 표시하며 complex(실수, 허수) 함수로 생성합니다.

A=complex(2,3)
A

(2+3j)

클래스 complex()로 생성되는 객체(복소수)는 그 객체의 실수부와 허수부를 각각 반환하는 속성(attribute)으로 객체.real, 객체.imag를 포함합니다.

A.real

2.0

A.imag

3.0

A의 켤레복소수는 complex()클래스의 메서드인 객체.conjugate()로 계산됩니다.

A.conjugate()

(2-3j)

복소수의 덧셈과 뺄셈은 실수부 사이, 허수부 사이에서 이루어집니다.

예 1)

두 복소수의 덧셈을 계산합니다.

A=-4+7i, B=5-10i

A=complex(-4, 7)
B=complex(5,-10)
A, B

((-4+7j), (5-10j))

A+B

(1-3j)

A.real+B.real

1.0

A.imag+B.imag

-3.0

예 2)

두 복소수의 뺄셈을 계산합니다.

A=5i, B=-9+i

A=complex(0, 5)
B=complex(-9, 1)
A, B

(5j, (-9+1j))

A+B

(-9+6j)

A.real+B.real

-9.0

A.imag+B.imag

6.0

곱셈은 일반적인 수의 곱연산과 같습니다.

예 3)

두 복소수의 곱셈을 계산합니다.

A=7i, B=-5+2i

\begin{align}7i(-5+2i)&=-35i+14i^2\\&=-14-35i\\ \because\,i=\sqrt{-1} &\rightarrow i^2=(\sqrt{-1})^2=-1\end{align}

A=complex(0, 7)
B=complex(-5, 2)
A, B

(7j, (-5+2j))

A*B

(-14-35j)

예 4)

두 복소수의 곱셈을 계산합니다.

A=1-8i, B=1+8i

A=complex(1,-8)
B=complex(1,8)
A, B

((1-8j), (1+8j))

A*B

(65+0j)

위 두 복소수는 서로 켤레복소수 관계로서 계산 결과는 실수입니다. 어떤 복소수의 켤레복소수는 허수부의 부호만 다르므로 그 둘의 곱은 식 2와 같이 계산됩니다.

\begin{align}\tag{식 2}(a+b)(a-b)&=a^2-b^2\\ &(a+bi)(a-bi)&=a^2-b^2i^2\\&=a^2+b^2\end{align}

그러므로 켤레복소수의 곱은 실수가 됩니다. 이러한 관계는 복소수의 나눗셈에 적용되어 보다 간단한 형태로 나타낼 수 있습니다. 복소수의 나눗셈(분수)은 분모를 실수로 만드는 것으로 표준형태(a+bi)로 나타낼 수 있습니다. 즉, 복소수의 나눗셈은 연산에 참여되는 두개이상의 복소수를 그 표준형태로 나타내는 과정입니다.

예 5)

다음을 계산합니다.

$$\frac{3-i}{2+7i}$$

분모를 실수로 만들면 식 1과 같은 표준형을 나타낼 수 있습니다. 실수로 만들기 위해서는 식 2와 같이 켤레복소수를 곱하면 됩니다.

\begin{align}\frac{3-i}{2+7i}&=\frac{(3-i)(2-7i)}{(2+7i)(2-7i)}\\&=\frac{6-23i-7}{4+49}\\&=-\frac{1}{53}-\frac{23}{53}i\end{align}

A=complex(3,-1)
B=complex(2, 7)
A, B

((3-1j), (2+7j))

np.around(A/B, 3)

(-0.019-0.434j)

BBc=B*B.conjugate()
BBc

(53+0j)

ABc=A*B.conjugate()
ABc

(-1-23j)

np.around(ABc/BBc, 3)

(-0.019-0.434j)

복소수는 실수부와 허수부를 각기 다른 축으로 하여 시각화 할 수 있습니다. 다음 그림은 2+3i를 나타낸 것입니다.

z=complex(2, 3)
z

(2+3j)

x, y=z.real, z.imag
plt.figure(figsize=(2,2))
col=['b','r', 'g']
plt.arrow(0,0, x, 0, color=col[0])
plt.arrow(0,y, x,0, color=col[0], ls="dotted")
plt.arrow(0,0, 0, y, color=col[1])
plt.arrow(x,0, 0, y, color=col[1], ls="dotted")
plt.arrow(0, 0, x, y, color=col[2])
cod=[(1, 0.2), (0.1, 2), (0.8, 1)]
nme=['z.real=2', "z.imag=3", r'$|z|=\sqrt{2^2+3^2}$']
for i in range(3):
    plt.text(cod[i][0], cod[i][1], nme[i], color=col[i])
plt.xlabel("실수부")
plt.ylabel("허수부")
plt.show()

위 그림에서 나타낸 것과 같이 복소수를 두 벡터로 나타낼 수 있으며 그 벡터들에 의한 크기 역시 표시할 수 있습니다. 이를 복소수의 절대값이라합니다. 이 절대값은 복소수와 켤레복소수와의 곱으로 계산됩니다.

\begin{align} z&=a+bi\\ |z|^2 &= z\cdot \overline{z}\\&=(a+bi)(a-bi)\\&=a^2+b^2\\ |z|&=\sqrt{a^2+b^2}\end{align}