내용

• 거듭제곱근(Radicals)
• 파이썬 함수에서 거듭제곱근 문제 수정

거듭제곱근(Radicals)

거듭제곱근(Radicals)

식 1과 같은 형태를 거듭제곱근(Radicals)라고 합니다.

\begin{align}\tag{식 1}y&=\sqrt[n]{x}\\&=a^\frac{1}{n}\\ & x \gt 0: y \in \mathbb{R}\\ & x \lt 0: y \in \text{Complex number}\end{align}

식 1의 표현에서 n=2의 경우 n은 생략됩니다.

$$\sqrt[4]{16} = 16^\frac{1}{4}=(2^4)^\frac{1}{4}=2$$

pow(16,1/4)

2.0

식 1에서 n이 홀수일 경우 x의 부호는 근호(root) 외부로 이동할 수 있습니다.

$$\sqrt[3]{-125}=(-125)^\frac{1}{3}=((-5)^3)^\frac{1}{3}=-5$$

음수일 경우 부호를 이동시키지 않은 상태에서 pow() 함수를 적용하면 복소수가 반환됩니다. 이는 $\frac{1}{3}$이 무한 소수이기 때문에 발생하는 컴퓨터 연산의 본질적 오류입니다.

y=-pow(125,1/3)
round(y, 2)

-5.0

y=pow(-125,1/3)
y

(-2.5-4.330127018922192j)

위와 같이 세제곱근은 numpy 패키지의 cbrt()함수를 적용할 수 있습니다.

y=np.cbrt(-125)
y

-5.0

다음은 n이 짝수이고 x가 음수일 경우입니다.

$$\sqrt[4]{-16}=(-16)^\frac{1}{4}$$

pow(-16, 1/4)

(1.4142135623730951+1.414213562373095j)

위 문제의 경우 -16은 어떤수의 실수인 지수승으로 계산되지 않기 때문에 평가될 수 없습니다. 즉,

실수의 범위에서 음수의 거듭제곱근은 인덱스(n)가 홀수일 경우 계산될 수 있지만 짝수일 경우는 계산될 수 없습니다.

pow(-16, 1/4)

(1.4142135623730951+1.414213562373095j)

특성

\begin{align}\tag{식 2}&\sqrt[n]{a^n} =a\\ &\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}\\ &\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\end{align}

파이썬 함수에서 거듭제곱근 문제 수정

파이썬에서 음수의 거듭제곱을 실행하는 경우 다음과 같은 문제가 발생합니다.파이썬의 연산의 우선순위에 의해 자수자체의 연산 다른 연산의 경우보다 우선됩니다. 다음의 $\sqrt[3]{-3^3}=(-2)^\frac{2}{3}$의 경우 지수인 $\frac{2}{3}$이 먼제 계산됩니다. 그러므로 복소수가 반환됩니다.

(-2)**(2/3)

(-0.7937005259840993+1.3747296369986026j)

pow(-2, 2/3)

(-0.7937005259840993+1.3747296369986026j)

위 경우는 다음과 같이 괄호 연산자를 첨가함으로서 해결됩니다. 파이썬에서 괄호내의 연산이 다른 연산보다 우선됩니다.

((-2)**2)**(1/3)

1.5874010519681994

제곱근에서 밑수 즉 $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$에서의 밑수 a는 양수이어야 합니다. 그러나 지수가 홀수일 경우는 '-'사인을 근호 밖으로 내보내는 방식으로 계산할 수 있습니다.

$$\sqrt[b]{-a} = -\sqrt[b]{a} = -(a)^\frac{1}{b} \quad b: \text{홀수}$$

(-8)**(1/3)

(1.0000000000000002+1.7320508075688772j)

-(8)**(1/3)

-2.0