기본 콘텐츠로 건너뛰기

[matplotlib]quiver()함수

댓글 쓰기

확률, 통계 관련 그래프

다음 그래프들은 전자책 파이썬과 함께하는 통계이야기 3 장에 수록된 그림들의 코드들입니다. 

import numpy as np 
import pandas as pd
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set_style("darkgrid")
#fig 311
uni, p=[0, 1, 2],[0.25, 0.5,  0.25]
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.bar(uni, p, color="g", alpha=0.3)
ax.set_xlabel("# of head(H)")
ax.set_ylabel("PMF")
ax.set_yticks(p)
ax.set_xticks(uni)
plt.show()
#fig 312
import itertools
ca=list(itertools.product(range(1, 7), repeat=2))
S=[sum(i) for i in ca]
uni, fre=np.unique(S, return_counts=True)
fresum=sum(fre)
p=[i/fresum for i in fre]
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.bar(uni, p, color="g", alpha=0.3)
ax.set_xlabel("Sum of number")
ax.set_ylabel("PMF")
ax.set_yticks(np.array(p).round(3))
ax.set_xticks(uni)
plt.show()
#fig 313
ca=list(itertools.product([0, 1], repeat=2))
S=[sum(i) for i in ca]
uni, fre=np.unique(S, return_counts=True)
re=pd.DataFrame([uni, fre, fre/fre.sum()], index=["x","Freq", "prop"])
p_cum=np.cumsum(re.iloc[2,:])
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.bar(uni, re.values[2,:], color="g", alpha=0.3, label="PMF")
ax.step(uni, p_cum, color="b", label="CDF")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.set_yticks([0, 0.25, 0.5, 0.75, 1])
ax.set_xticks(re.values[0,:])
ax.legend(loc="best")
plt.show()
#fig 314
pmf1=stats.binom.pmf(range(0, 11), 10, 0.3)
pmf2=stats.binom.pmf(range(0, 21), 20, 0.6)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.bar(range(0, 11), pmf1, color="brown", label="B(10, 0.3)")
ax.bar(range(0, 21), pmf2, color="g", label="B(20, 0.6)")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.legend(loc="best")
plt.show()
# fig 315
x=range(1, 16)
p1=stats.geom.pmf(x, 0.1)
p2=stats.geom.pmf(x, 0.3)
p3=stats.geom.pmf(x, 0.5)
p4=stats.geom.pmf(x, 0.7)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
p=[p1,p2,p3,p4]
col=['g','b','r','k']
nme=[0.1, 0.3, 0.5, 0.7]
for i in range(len(p)):
    ax.plot(x, p[i], color=col[i], label=f"Geometric({nme[i]})")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.legend(loc="best")
plt.show()
#fig 316
x=range(3, 30)
p1=stats.nbinom.pmf(x, 3, 0.1)
p3=stats.nbinom.pmf(x, 3, 0.3)
p5=stats.nbinom.pmf(x, 3, 0.5)
p7=stats.nbinom.pmf(x, 3, 0.7)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
p=[p1,p3,p5,p7]
col=['g','b','r','k']
nme=[0.1, 0.3, 0.5, 0.7]
for i in range(len(p)):
    ax.plot(x, p[i], color=col[i], label=f"NB(3, {nme[i]})")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.legend(loc="best")
plt.show()
#fig 317
M=80; n=50; N=20
re=stats.hypergeom.pmf(range(21), M, n, N)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.bar(range(21), re, color="g", label="hypergeom(80, 50, 20)")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.set_ylim([0, 0.25])
ax.legend(loc="best", frameon=False)
plt.show()
#fig 318
x=range(1, 41)
p=[1, 5, 10, 30]
pmf={}
for i in p:
    pmf[i]=stats.poisson.pmf(x, i)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
col=["g",'b','r','k']
for i in range(4):
    ax.plot(x, pmf[p[i]], color=col[i], alpha=0.6, label=f"Poisson({p[i]})")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.legend(loc="best", frameon=False)
plt.show()
#fig 319
x=range(1, 20)
pmf=stats.poisson.pmf(x, 25/3)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.bar(x, pmf, color="g", alpha=0.6, label=r"Poisson$\left(\frac{25}{3}\right)$")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.legend(loc="best", frameon=False)
plt.show()
#fig321
x=np.linspace(-4, 4, 100)
p=stats.norm.pdf(x)
nme=[r"-2.56$\sigma$", r"-1.96$\sigma$", r"$\sigma$", r'$\mu$', r"$\sigma$", r"1.96$\sigma$", r"2.56$\sigma$"]
x1=np.linspace(-1, 1, 100)
x21=np.linspace(-1.96, -1, 100)
x22=np.linspace(1, 1.96, 100)
x31=np.linspace(-2.56, -1.96, 100 )
x32=np.linspace(1.96, 2.56, 100)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.plot(x, p, color="r")
ax.fill_between(x1, stats.norm.pdf(x1), color="g", alpha=0.3, label="68%")
ax.fill_between(x21, stats.norm.pdf(x21), color="b", alpha=0.3, label="95%")
ax.fill_between(x22, stats.norm.pdf(x22), color="b", alpha=0.3)
ax.fill_between(x31, stats.norm.pdf(x31), color="brown", alpha=0.3, label="99%")
ax.fill_between(x32, stats.norm.pdf(x32), color="brown", alpha=0.3)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.set_xticks(ticks=[-2.56, -1.96, -1, 0, 1, 1.96, 2.56], labels=nme)
ax.set_title("Normal Distribution")
ax.legend(loc="best")
plt.show()
#fig 322
x=np.sort(stats.norm.rvs(size=50, random_state=3))
y=stats.norm.pdf(x)
x2=np.sort(stats.norm.rvs(size=1000, random_state=3))
y2=stats.norm.pdf(x2)
fig, (ax1, ax2)=plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(8, 3))
ax1.hist(x,bins=10, density=True, rwidth=0.8, label="size=50")
ax1.plot(x, y, color="r", label="N(0,1)")
ax1.set_xlabel("x")
ax1.set_ylabel("probability")
ax1.legend(loc="best")
ax2.hist(x2,bins=10, density=True, rwidth=0.8, label="size=1000")
ax2.plot(x2, y2, color="r", label="N(0,1)")
ax2.set_xlabel("x")
ax2.legend(loc="best")
plt.show()
#fig 323
x=np.sort(stats.norm.rvs(size=1000, random_state=3))
y=stats.norm.pdf(x)
mu=[-2, 0, 1, 2]
sigma=[1, 1.5, 2, 2.5]
col=["r",'b', 'g','orange']
fig, (ax1, ax2)=plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(8, 3))
for i in range(4):
    ax1.plot(x, stats.norm.pdf(x, mu[i], 1), color=col[i], label=f"N({mu[i]},1)")
    ax2.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, sigma[i]), color=col[i], label=f"N(0, {sigma[i]})")
ax1.set_xlabel("x, (a) Change in $\mu$", loc="right")
ax1.set_ylabel("probability")
ax1.set_ylim(0, 0.7)
ax1.vlines(0, 0, 0.7, color="k", alpha=0.3)
ax1.legend(loc="best", frameon=False)
ax2.set_xlabel("x, (b) Change in $\sigma$", loc="right")
ax2.legend(loc="best", frameon=False)
ax2.set_ylim(0, 0.42)
ax2.vlines(0, 0, 0.42, color="k", alpha=0.3)
plt.show()
#fig 324
x=np.linspace(-3, 3, 100)
x1=np.linspace(-3, 0, 100)
x2=np.linspace(0, 3, 100)
y=stats.norm.pdf(x)
plt.figure(figsize=(4,3))
plt.plot(x, y, color="g", label="N(0, 1)")
plt.fill_between(x1, stats.norm.pdf(x1), color="b", alpha=0.3, label="50%")
plt.fill_between(x2, stats.norm.pdf(x2), color="g", alpha=0.3, label="50%")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("pdf")
plt.yticks([0.1, 0.2, 0.3, 0.4])
plt.legend(loc="upper left", frameon=False)
plt.text(1, 0.3, r"f(x)=$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{x^2}{2}}$", color="g", size="12")
plt.show()
#fig 325
x=np.linspace(-25, 5, 1000)
y1=stats.norm.pdf(x, -10, 4)
y2=stats.norm.pdf(x)
plt.figure(figsize=(4,3))
plt.plot(x, y1, color="g", label="N(-10, 4)")
plt.plot(x, y2, color="b", label="N(0,1)")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("pdf", rotation="horizontal", labelpad=10)
plt.legend(loc="center left", frameon=False)
plt.show()
#fig 326
x=np.linspace(0.01, 6, 1000)
plt.figure(figsize=(4,3))
col=["g", "b", "r"]
for i, j in enumerate([0.5, 1, 2]):
    y=stats.expon.pdf(x, j)
    idx=np.where(y>0)[0]
    plt.plot(x[idx], y[idx],  color=col[i], label=r"$\lambda$="+str(j))
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("pdf", rotation="horizontal", labelpad=10)
plt.legend(loc="best", frameon=False)
plt.show()
#fig 327
x=np.linspace(0.01, 14, 1000)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
lam=0.413
y=stats.expon.pdf(x, lam, 1/lam)
num=[ 1,  2,  3 , 4,  5,  6 , 7, 11, 12, 13, 14]
prop=[0.489, 0.252, 0.067, 0.067, 0.052, 0.03 , 0.007, 0.007, 0.007, 0.007 ,0.015]
idx=np.where(y>0)[0]
plt.bar(num, prop, color="g", alpha=0.3)
plt.plot(x[idx], y[idx],  color='g', label=r"$\lambda$="+str(lam))
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("pdf", rotation="horizontal", labelpad=10)
plt.legend(loc="best", frameon=False)
plt.show()
#fig  328
from scipy import special
x=np.linspace(0.1, 4.1, 100)
y=special.gamma(x)
plt.figure(figsize=(4,3))
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel(r"$\Gamma(x)$", rotation="horizontal", labelpad=10)
plt.show()
#fig 329
x=np.linspace(0, 20, 1000)
ab=[1, 3,5,7]
col=['g','b','r','k']
fig, (ax1, ax2)=plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(8, 3))
for i, j in zip(col, ab):
    y=stats.gamma.pdf(x, j, 1)
    ax1.plot(x, y, color=i, label=f"Gamma({j}, 1)")
    y2=stats.gamma.pdf(x, 10, 0, 1/j)
    ax2.plot(x, y2, color=i, label=f"Gamma(10, {j})")
ax1.set_xlabel("x\n(a)", loc="center" , size="12")
ax1.set_ylabel("pdf")
ax1.legend(loc="best")
ax2.set_xlabel("x\n(b)", loc="center", size="12" )
ax2.legend(loc="best")
plt.show()
#fig 3210
x=np.linspace(0, 21, 1000)
k=[1, 3,5,10,20]
col=['g','b','r','k', "orange"]
plt.figure(figsize=(4, 3))
for i, j in zip(col, k):
    y=stats.chi2.pdf(x, j)
    plt.plot(x, y, color=i, label=r"$\chi^2$("+str(j)+")")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("pdf", rotation="horizontal", labelpad=10)
plt.ylim(-0.01, 0.4)
plt.legend(loc="best")
plt.show()
#fig 3211
x=stats.norm.rvs(size=1000)
y=stats.norm.rvs(size=900)
z=np.append(x**2, y**2)
z1=np.sort(z)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.hist(z1, bins=15, rwidth=0.9, color="g", alpha=0.3, label="histogram")
ax.set_xlabel("z1")
ax.set_ylabel("frequency", color="g")
ax2=plt.twinx()
ax2.plot(z1, stats.chi2.pdf(z1, 2), color="b", label=r"$\chi^2$(2)")
ax2.set_ylabel("pdf", color="b")
ax.legend(loc=(0.6, 0.8), frameon=False)
ax2.legend(loc=(0.6, 0.7), frameon=False)
plt.show()
#fig 3212
x=np.linspace(-3, 3, 1000)
k=[1, 5, 10]
col=['g','b','r']
plt.figure(figsize=(4,3))
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x), label="N(0, 1)")
for i, j in zip(k, col):
    plt.plot(x, stats.t.pdf(x, i), color=j, label=f"t({i})")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("pdf", rotation="horizontal", labelpad=10)
plt.legend(loc='best', frameon=False)
plt.show()
#fig 3213
x=np.linspace(0, 4, 1000)
n=[2, 4, 8, 12]
d=[4, 8, 12, 16]
col=['g','b','r', 'k']
plt.figure(figsize=(4,3))
for i in range(4):
    plt.plot(x, stats.f.pdf(x, n[i], d[i]), color=col[i], label=f"F{n[i], d[i]}")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("pdf", rotation="horizontal", labelpad=10)
plt.legend(loc='best', frameon=False)
plt.show()
Labels:

댓글

댓글 쓰기

이 블로그의 인기 게시물

[Linear Algebra] 유사변환(Similarity transformation)

유사변환(Similarity transformation) n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation) 이라고 합니다. $$\tag{1} A = PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP = B $$ 식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다. \begin{align}\tag{식 2} B - \lambda I &= P^{-1}AP – \lambda P^{-1}P\\ &= P^{-1}(AP – \lambda P)\\ &= P^{-1}(A - \lambda I)P \end{align} 식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다. \begin{align} &\begin{aligned}\textsf{det}(B - \lambda I ) & = \textsf{det}(P^{-1}(AP – \lambda P))\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}((A – \lambda I)) \textsf{det}(P)\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) \textsf{det}((A – \lambda I))\\ &= \textsf{det}(A – \lambda I)\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\because \; \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) &= \textsf{det}(P^{-1}P)\\ &= \textsf{det}(I)\end{aligned}\end{align} 유사행렬의 특성 유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B' 와 같...
댓글 쓰기
Read more »

[sympy] Sympy객체의 표현을 위한 함수들

Sympy객체의 표현을 위한 함수들 General simplify(x): 식 x(sympy 객체)를 간단히 정리 합니다. import numpy as np from sympy import * x=symbols("x") a=sin(x)**2+cos(x)**2 a $\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$ simplify(a) 1 simplify(b) $\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ simplify(b) x - 1 c=gamma(x)/gamma(x-2) c $\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(x - 2\right)}$ simplify(c) $\displaystyle \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$ 위의 예들 중 객체 c의 감마함수(gamma(x))는 확률분포 등 여러 부분에서 사용되는 표현식으로 다음과 같이 정의 됩니다. 감마함수는 음이 아닌 정수를 제외한 모든 수에서 정의됩니다. 식 1과 같이 자연수에서 감마함수는 factorial(!), 부동소수(양의 실수)인 경우 적분을 적용하여 계산합니다. $$\tag{식 1}\Gamma(n) =\begin{cases}(n-1)!& n:\text{자연수}\\\int^\infty_0x^{n-1}e^{-x}\,dx& n:\text{부동소수}\end{cases}$$ x=symbols('x') gamma(x).subs(x,4) $\displaystyle 6$ factorial 계산은 math.factorial() 함수를 사용할 수 있습니다. import math math.factorial(3) 6 a=gamma(x).subs(x,4.5) a.evalf(3) 11.6 simpilfy() 함수의 알고리즘은 식에서 공통사항을 찾아 정리하...
댓글 쓰기
Read more »

sympy.solvers로 방정식해 구하기

sympy.solvers로 방정식해 구하기 대수 방정식을 해를 계산하기 위해 다음 함수를 사용합니다. sympy.solvers.solve(f, *symbols, **flags) f=0, 즉 동차방정식에 대해 지정한 변수의 해를 계산 f : 식 또는 함수 symbols: 식의 해를 계산하기 위한 변수, 변수가 하나인 경우는 생략가능(자동으로 인식) flags: 계산 또는 결과의 방식을 지정하기 위한 인수들 dict=True: {x:3, y:1}같이 사전형식, 기본값 = False set=True :{(x,3),(y,1)}같이 집합형식, 기본값 = False ratioal=True : 실수를 유리수로 반환, 기본값 = False positive=True: 해들 중에 양수만을 반환, 기본값 = False 예 $x^2=1$의 해를 결정합니다. solve() 함수에 적용하기 위해서는 다음과 같이 식의 한쪽이 0이 되는 형태인 동차식으로 구성되어야 합니다. $$x^2-1=0$$ import numpy as np from sympy import * x = symbols('x') solve(x**2-1, x) [-1, 1] 위 식은 계산 과정은 다음과 같습니다. $$\begin{aligned}x^2-1=0 \rightarrow (x+1)(x-1)=0 \\ x=1 \; \text{or}\; -1\end{aligned}$$ 예 $x^4=1$의 해를 결정합니다. solve() 함수의 인수 set=True를 지정하였으므로 결과는 집합(set)형으로 반환됩니다. eq=x**4-1 solve(eq, set=True) ([x], {(-1,), (-I,), (1,), (I,)}) 위의 경우 I는 복소수입니다.즉 위 결과의 과정은 다음과 같습니다. $$x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)=0 \rightarrow x=\pm \sqrt{-1}, \; \pm 1=\pm i,\; \pm1$$ 실수...
댓글 쓰기
Read more »