삼각함수(Trigonometric function)의 정의

삼각함수

직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 삼각비라고 하며 삼각비에는 일정한 관계를 보입니다. 삼각함수(Trigonometric function)는 삼각비의 일정한 관계를 함수로 나타낸 것입니다. 그림 1은 원 내부에 작성된 직각삼각형을 나타냅니다.

그림 1. 원 내부에 직각삼각형.

x=np.linspace(-1, 1, 100)
y=np.sqrt(1-x**2)
y1=-np.sqrt(1-x**2)
a=0.8
b=np.sqrt(1-a**2)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(3,3))
ax.plot(x, y, color="b")
ax.plot(x, y1, color="b")
ax.arrow(0,0, a, b, color="k" )
ax.vlines(a, 0, b, ls="dotted", color="k")
ax.hlines(b, 0, a, ls="dotted", color="k")
cod=[(-0.1,-0.1), (a,-0.1), (-0.1, b), (a+0.05, b), (0.13, 0.01), (0.55, 0.03),(0.3, b+0.02), (a+0.02, 0.3), (0.3, 0.3)]
nme=['O', 'a', 'b', 'P', r'$\theta$', r'$90^o$','a', 'b', 'r']
for i in range(len(cod)):
    if i <=5:
        ax.text(cod[i][0], cod[i][1], nme[i], weight="bold", color="k")
    else:
        ax.text(cod[i][0], cod[i][1], nme[i], fontsize=11, color="g")
ax.spines['left'].set_position(("data", 0))
ax.spines['bottom'].set_position(("data", 0))
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.set_xticks([])
ax.set_yticks([])
plt.show()

그림 1은 반지름 r인 원 내부의 직각삼각형으로 반지름 r을 기준으로 삼각비의 관계를 나타내고 있습니다(식 1).

\begin{align}\sin(\theta)&=\frac{b}{r}\\\tag{식 1} \cos(\theta)&=\frac{a}{r}\\\tan(\theta)&=\frac{a}{b} \end{align}

식1로부터 식 2를 유도할 수 있습니다.

\begin{align}\tag{2}&\tan(\theta)=\frac{B}{C}=\frac{\frac{B}{A}}{\frac{C}{A}}=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\\ &\csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)}\\&\sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}\\&\cot(\theta)=\frac{1}{\tan(\theta)}\end{align}

예 1)

다음 삼각형에서 sin(A), cos(A), than(A)?

a=4
c=8
b=np.sqrt(c**2-a**2)
plt.figure(figsize=(2,2))
plt.plot([0, 0], [0, a])
plt.plot([0, b], [0, 0])
plt.plot([0, b], [a, 0])
plt.text(-1, 2, "4", color="b")
plt.text(3.7, 2, "8", color="g")
plt.text(0.2, 0.2, r"$90^o$", color="k")
plt.axis("off")
plt.show()

위 삼각형 밑면의 길이는 피타고라스 정리에 의해 결정할 수 있습니다.

\begin{align}\text{빗변}^2&=\text{높이}^2+\text{밑변}^2\\8^2&=4^2+x^2\\x&=\sqrt{8^2-4^2} \end{align}

h=4
hy=8
base=np.sqrt(hy**2-h**2)
round(base, 2)

6.93

sinA=h/hy
sinA

0.5

cosA=base/hy
round(cosA, 3)

0.866

tanA=h/base
round(tanA, 3)

0.577

일반적으로 각도는 라디안(radian) 값으로 환산하여 나타냅니다. 각은 0에서 360°의 구간에서 반복되며 최대각인 360°를 2π로 하여 환산한 값을 라디안이라고 하며 식 3의 비례식으로 환산할 수 있습니다.

$$\tag{식 3}180 : \pi = x: 90 \rightarrow x=\frac{90}{180} \pi$$

import numpy as np
import pandas as pd
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt

식 2의 환산 결과는 numpy 모듈의 radians() 함수로 확인할 수 있습니다. 반대로 라디안을 각으로 전환하기 위해 degrees() 함수를 사용할 수 있습니다.

• numpy.radians(): degree(각)을 radian으로 환산
• numpy.degrees(): radian을 degree로 환산

x1=np.radians(270)
round(x1, 3)

4.712

np.degrees(x1)

270.0

sympy 모듈에서 N() 또는 .evalf()함수를 사용하여 수학의 특정표현을 수치로 나타낼 수 있습니다.

(3/2*N(pi)).evalf(4)

4.712

그림 1의 각도 $\theta$는 0 ~ 360^o순환합니다. 그러므로 각 각도에 대응하는 sin 또는 cos의 값역시 반복합니다.

x=[0, 45, 90,  135, 180, 225, 270, 315, 360]
x_rad=np.radians(x)
print(x_rad.round(2))

[0.   0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.5  6.28]

sinx=np.sin(x_rad)
print(sinx. round(2))

[ 0.    0.71  1.    0.71  0.   -0.71 -1.   -0.71 -0.  ]

cosx=np.cos(x_rad)
print(cosx. round(2))

[ 1.    0.71  0.   -0.71 -1.   -0.71 -0.    0.71  1.  ]

sinS=['+'  if i >0 else '0' if i ==0 else '-' for i in sinx.round(2)]
cosS=['+'  if i >0 else '0' if i == 0 else '-' for i in cosx.round(2)]
pd.DataFrame([x, sinS, cosS], )

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	45	90	135	180	225	270	315	360
1	0	+	+	+	0	-	-	-	0
2	+	+	0	-	-	-	0	+	+

1) 어떠한 각도에 대한 x, y 좌표는 cos(θ), sin(θ)값으로 표현할 수 있습니다. 그러므로 0~2π의 구간에 각 삼각함수의 양수(positive), 음수(negative) 구간을 설정할 수 있습니다.

위 그림에서 양의 x축을 기준으로 반시계방향으로

범위(각)	사분면	sin(θ)	cos(θ)
$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$	1사분면	positive	positive
$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$	2사분면	positive	negative
$\pi \le \theta \le \frac{3\pi}{2}$	3사분면	negative	positive
$\frac{3\pi}{2} \le \theta \le 2\pi$	4사분면	negative	negative

2) 이 각도는 원 중심각의 이동을 나타내는 것으로 360°(2π)를 기준으로 반복됩니다. 이러한 반복을 위한 일정한 범위를 주기(period)라고 합니다.

3) $\frac{\pi}{3}$을 기준으로 반시계방향으로 180° 이동시킨 것은 이 값에 π를 더하는 것으로 표현할 수 있습니다. 반대로 시계방향으로 180° 이동은 π를 빼주는 것으로 나타냅니다.

• $\frac{\pi}{3}+\pi$: 반시계방향으로 180도 이동
• $\frac{\pi}{3}-\pi$: 시계방향으로 180도 이동

그러므로 위 그림에서 나타낸 것과 같이 $\frac{2\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$는 각각 반시계방향, 시계방향으로 회전함을 의미합니다. 회전방향에 따라 cos(θ), sin(θ)의 특성을 식 4와 같이 나타낼 수 있습니다.

\begin{align}\tag{식 4}&\sin(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}&\sin(-\frac{2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}& \cos(-\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}\end{align}

식 4에 나타낸 sin과 cos의 관계는 식 5와 같이 일반화할 수 있습니다.

\begin{align} &\sin(\theta)=-\sin(-\theta) &\csc(-\theta)=-\csc(\theta)\\\tag{식 5}&\cos(-\theta)=\cos(\theta) & \sec(-\theta)=\sec(\theta)\\ &\tan(-\theta)=-\tan(\theta) & \cot(-\theta)=-\cot(\theta)\end{align}

식 5의 tan(θ)의 경우는 sin(θ)과 cos(θ)의 비로 나타낼 수 있습니다. sin(θ)과 cos(θ)은 식 5에서 나타낸 것과 같이 입력된 값의 부호를 처리하는 과정에 차이가 납니다. 즉, 다음에 정의한 홀함수와 짝함수로 나타낼 수 있습니다. sin(θ)와 cos(θ)를 각각 홀함수와 짝함수로 명명할 수 있습니다.

• f(-x)=-f(x)를 홀함수(기함수, odd function)
• f(-x)=f(x)를 짝함수(even function)이라고 합니다

y=[pi/3, -pi/3]
sinVal=[sin(i) for i in y]
sinVal

[sqrt(3)/2, -sqrt(3)/2]

cosVal=[cos(i) for i in y]
cosVal

[1/2, 1/2]

위 결과와 같이 sin 함수는 인수인 각도의 부호에 따라 다른 값을 나타내는 홀함수이지만 cos 함수는 같은 값을 나타내는 짝함수입니다.

예 2)

$2\cos(x)=\sqrt{3}$의 해?

식을 정리하면 다음과 같습니다. 식의 결과인 $\frac{\sqrt{3}}{2}$에 대응하는 함수는 $cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$입니다.이 함수는 짝함수이므로 $-\frac{\pi}{6}$ 역시 같은 값을 나타냅니다.

$$\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

sympy.solve(eq, 변수) 함수를 적용하여 식의 해 x를 계산할 수 있습니다. 이 함수에 전달하는 eq는 식 6과 같이 한쪽이 0인 음함수 형태이어야 합니다.

$$\tag{식 6}2\cos(x)-\sqrt{3}=0$$

x=symbols('x')
k=2*cos(x)-sqrt(3)
solve(k)

[pi/6, 11*pi/6]

위의 해는 [0, 2 π]의 범위에서의 값들로서 이 값들은 식 7과 같이 확장할 수 있습니다.

\begin{align}\tag{식 7}&\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6} +2n \pi, \quad n =0, \pm 1, \pm 2, \cdots\\ &\frac{11\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} +2n \pi, \quad n =0, \pm 1, \pm 2, \cdots \end{align}

그러므로 특정한 구간내에서 해를 구하기 위해서는 다음과 같이 solveset(식, 변수, 구간) 함수를 사용하여 구간을 인수로 전달합니다.

solveset(k, x, Interval(-2*pi, 2*pi))

$\quad \small \color{blue}{\left\{- \frac{11 \pi}{6}, - \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right\}}$

예 3)

$2\sin(5x)=-\cos(2x), \quad [\frac{-3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$의 해?

x=symbols('x')
k=sin(2*x)+cos(2*x)
solveset(k, x, Interval(-3*pi/2, 3*pi/2)).evalf(3)

$\quad \small \color{blue}{\left\{-3.53, -1.96, -0.393, 1.18, 2.75, 4.32\right\}}$

예 4)

$2\sin(5x)=-\cos(2x), \quad [\frac{-3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$의 해?

solveset(k, x, Interval(-8, 10)).evalf(3)

{−7.01,−5.56,−0.723,0.723,5.56,7.01}