삼각함수
직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 삼각비라고 하며 삼각비에는 일정한 관계를 보입니다. 삼각함수(Trigonometric function)는 삼각비의 일정한 관계를 함수로 나타낸 것입니다. 그림 1은 원 내부에 작성된 직각삼각형을 나타냅니다.
x=np.linspace(-1, 1, 100)
y=np.sqrt(1-x**2)
y1=-np.sqrt(1-x**2)
a=0.8
b=np.sqrt(1-a**2)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(3,3))
ax.plot(x, y, color="b")
ax.plot(x, y1, color="b")
ax.arrow(0,0, a, b, color="k" )
ax.vlines(a, 0, b, ls="dotted", color="k")
ax.hlines(b, 0, a, ls="dotted", color="k")
cod=[(-0.1,-0.1), (a,-0.1), (-0.1, b), (a+0.05, b), (0.13, 0.01), (0.55, 0.03),(0.3, b+0.02), (a+0.02, 0.3), (0.3, 0.3)]
nme=['O', 'a', 'b', 'P', r'$\theta$', r'$90^o$','a', 'b', 'r']
for i in range(len(cod)):
if i <=5:
ax.text(cod[i][0], cod[i][1], nme[i], weight="bold", color="k")
else:
ax.text(cod[i][0], cod[i][1], nme[i], fontsize=11, color="g")
ax.spines['left'].set_position(("data", 0))
ax.spines['bottom'].set_position(("data", 0))
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.set_xticks([])
ax.set_yticks([])
plt.show()
그림 1은 반지름 r인 원 내부의 직각삼각형으로 반지름 r을 기준으로 삼각비의 관계를 나타내고 있습니다(식 1).
\begin{align}\sin(\theta)&=\frac{b}{r}\\\tag{식 1} \cos(\theta)&=\frac{a}{r}\\\tan(\theta)&=\frac{a}{b} \end{align}
식1로부터 식 2를 유도할 수 있습니다.
\begin{align}\tag{2}&\tan(\theta)=\frac{B}{C}=\frac{\frac{B}{A}}{\frac{C}{A}}=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\\ &\csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)}\\&\sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}\\&\cot(\theta)=\frac{1}{\tan(\theta)}\end{align}
예 1)
다음 삼각형에서 sin(A), cos(A), than(A)?
a=4
c=8
b=np.sqrt(c**2-a**2)
plt.figure(figsize=(2,2))
plt.plot([0, 0], [0, a])
plt.plot([0, b], [0, 0])
plt.plot([0, b], [a, 0])
plt.text(-1, 2, "4", color="b")
plt.text(3.7, 2, "8", color="g")
plt.text(0.2, 0.2, r"$90^o$", color="k")
plt.axis("off")
plt.show()
위 삼각형 밑면의 길이는 피타고라스 정리에 의해 결정할 수 있습니다.
\begin{align}\text{빗변}^2&=\text{높이}^2+\text{밑변}^2\\8^2&=4^2+x^2\\x&=\sqrt{8^2-4^2} \end{align}
h=4 hy=8 base=np.sqrt(hy**2-h**2) round(base, 2)
6.93
sinA=h/hy sinA
0.5
cosA=base/hy round(cosA, 3)
0.866
tanA=h/base round(tanA, 3)
0.577
일반적으로 각도는 라디안(radian) 값으로 환산하여 나타냅니다. 각은 0에서 360°의 구간에서 반복되며 최대각인 360°를 2π로 하여 환산한 값을 라디안이라고 하며 식 3의 비례식으로 환산할 수 있습니다.
$$\tag{식 3}180 : \pi = x: 90 \rightarrow x=\frac{90}{180} \pi$$
import numpy as np import pandas as pd from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt
식 2의 환산 결과는 numpy 모듈의 radians() 함수로 확인할 수 있습니다. 반대로 라디안을 각으로 전환하기 위해 degrees() 함수를 사용할 수 있습니다.
- numpy.radians(): degree(각)을 radian으로 환산
- numpy.degrees(): radian을 degree로 환산
x1=np.radians(270) round(x1, 3)
4.712
np.degrees(x1)
270.0
sympy 모듈에서 N() 또는 .evalf()함수를 사용하여 수학의 특정표현을 수치로 나타낼 수 있습니다.
(3/2*N(pi)).evalf(4)
4.712
그림 1의 각도 $\theta$는 0 ~ 360o순환합니다. 그러므로 각 각도에 대응하는 sin 또는 cos의 값역시 반복합니다.
x=[0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360] x_rad=np.radians(x) print(x_rad.round(2))
[0. 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.5 6.28]
sinx=np.sin(x_rad) print(sinx. round(2))
[ 0. 0.71 1. 0.71 0. -0.71 -1. -0.71 -0. ]
cosx=np.cos(x_rad) print(cosx. round(2))
[ 1. 0.71 0. -0.71 -1. -0.71 -0. 0.71 1. ]
sinS=['+' if i >0 else '0' if i ==0 else '-' for i in sinx.round(2)] cosS=['+' if i >0 else '0' if i == 0 else '-' for i in cosx.round(2)] pd.DataFrame([x, sinS, cosS], )
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 315 | 360 |
| 1 | 0 | + | + | + | 0 | - | - | - | 0 |
| 2 | + | + | 0 | - | - | - | 0 | + | + |
1) 어떠한 각도에 대한 x, y 좌표는 cos(θ), sin(θ)값으로 표현할 수 있습니다. 그러므로 0~2π의 구간에 각 삼각함수의 양수(positive), 음수(negative) 구간을 설정할 수 있습니다.
위 그림에서 양의 x축을 기준으로 반시계방향으로
| 범위(각) | 사분면 | sin(θ) | cos(θ) |
|---|---|---|---|
| $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ | 1사분면 | positive | positive |
| $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$ | 2사분면 | positive | negative |
| $\pi \le \theta \le \frac{3\pi}{2}$ | 3사분면 | negative | positive |
| $\frac{3\pi}{2} \le \theta \le 2\pi$ | 4사분면 | negative | negative |
2) 이 각도는 원 중심각의 이동을 나타내는 것으로 360°(2π)를 기준으로 반복됩니다. 이러한 반복을 위한 일정한 범위를 주기(period)라고 합니다.
3) $\frac{\pi}{3}$을 기준으로 반시계방향으로 180° 이동시킨 것은 이 값에 π를 더하는 것으로 표현할 수 있습니다. 반대로 시계방향으로 180° 이동은 π를 빼주는 것으로 나타냅니다.
- $\frac{\pi}{3}+\pi$: 반시계방향으로 180도 이동
- $\frac{\pi}{3}-\pi$: 시계방향으로 180도 이동
그러므로 위 그림에서 나타낸 것과 같이 $\frac{2\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$는 각각 반시계방향, 시계방향으로 회전함을 의미합니다. 회전방향에 따라 cos(θ), sin(θ)의 특성을 식 4와 같이 나타낼 수 있습니다.
\begin{align}\tag{식 4}&\sin(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}&\sin(-\frac{2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}& \cos(-\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}\end{align}
식 4에 나타낸 sin과 cos의 관계는 식 5와 같이 일반화할 수 있습니다.
\begin{align} &\sin(\theta)=-\sin(-\theta) &\csc(-\theta)=-\csc(\theta)\\\tag{식 5}&\cos(-\theta)=\cos(\theta) & \sec(-\theta)=\sec(\theta)\\ &\tan(-\theta)=-\tan(\theta) & \cot(-\theta)=-\cot(\theta)\end{align}
식 5의 tan(θ)의 경우는 sin(θ)과 cos(θ)의 비로 나타낼 수 있습니다. sin(θ)과 cos(θ)은 식 5에서 나타낸 것과 같이 입력된 값의 부호를 처리하는 과정에 차이가 납니다. 즉, 다음에 정의한 홀함수와 짝함수로 나타낼 수 있습니다. sin(θ)와 cos(θ)를 각각 홀함수와 짝함수로 명명할 수 있습니다.
- f(-x)=-f(x)를 홀함수(기함수, odd function)
- f(-x)=f(x)를 짝함수(even function)이라고 합니다
y=[pi/3, -pi/3] sinVal=[sin(i) for i in y] sinVal
[sqrt(3)/2, -sqrt(3)/2]
cosVal=[cos(i) for i in y] cosVal
[1/2, 1/2]
위 결과와 같이 sin 함수는 인수인 각도의 부호에 따라 다른 값을 나타내는 홀함수이지만 cos 함수는 같은 값을 나타내는 짝함수입니다.
예 2)
$2\cos(x)=\sqrt{3}$의 해?
식을 정리하면 다음과 같습니다. 식의 결과인 $\frac{\sqrt{3}}{2}$에 대응하는 함수는 $cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$입니다.이 함수는 짝함수이므로 $-\frac{\pi}{6}$ 역시 같은 값을 나타냅니다.
$$\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
sympy.solve(eq, 변수) 함수를 적용하여 식의 해 x를 계산할 수 있습니다. 이 함수에 전달하는 eq는 식 6과 같이 한쪽이 0인 음함수 형태이어야 합니다.
$$\tag{식 6}2\cos(x)-\sqrt{3}=0$$
x=symbols('x')
k=2*cos(x)-sqrt(3)
solve(k)
[pi/6, 11*pi/6]
위의 해는 [0, 2 π]의 범위에서의 값들로서 이 값들은 식 7과 같이 확장할 수 있습니다.
\begin{align}\tag{식 7}&\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6} +2n \pi, \quad n =0, \pm 1, \pm 2, \cdots\\ &\frac{11\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} +2n \pi, \quad n =0, \pm 1, \pm 2, \cdots \end{align}
그러므로 특정한 구간내에서 해를 구하기 위해서는 다음과 같이 solveset(식, 변수, 구간) 함수를 사용하여 구간을 인수로 전달합니다.
solveset(k, x, Interval(-2*pi, 2*pi))$\quad \small \color{blue}{\left\{- \frac{11 \pi}{6}, - \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right\}}$
예 3)
$2\sin(5x)=-\cos(2x), \quad [\frac{-3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$의 해?
x=symbols('x')
k=sin(2*x)+cos(2*x)
solveset(k, x, Interval(-3*pi/2, 3*pi/2)).evalf(3)
$\quad \small \color{blue}{\left\{-3.53, -1.96, -0.393, 1.18, 2.75, 4.32\right\}}$
예 4)
$2\sin(5x)=-\cos(2x), \quad [\frac{-3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$의 해?
solveset(k, x, Interval(-8, 10)).evalf(3)
{−7.01,−5.56,−0.723,0.723,5.56,7.01}
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