삼각함수: 코사인 법칙(cosines rule)

코사인 법칙(cosines rule)

cosine 1법칙은 식 1과 같습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(식 1)}& & \text{a}=\text{c}·\cos (\text{B})+\text{b}·\cos (\text{C})& \text{b}=\text{a}·\cos (\text{C})+\text{c}·\cos (\text{A})\\ & \text{c}=\text{b}·\cos (\text{A})+\text{a}·\cos (\text{B})\end{array}$$

그림 1. cosin 1 법칙.

그림 1로 부터 다음 식을 유도할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}& \text{By}\overline{AH},\mathrm{△}ABH\text{and}\mathrm{△}AHC\\ & \to \cos (B)=\frac{a_1}{c},\cos (C)=\frac{a_2}{b}\\ & \to a=a_1+a_2=c\cdot \cos (B)+b\cdot \cos (C)\\ \\ & \text{By}\overline{BD},\mathrm{△}ABD\text{and}\mathrm{△}CBD\\ & \to \cos (A)=\frac{b_2}{c},\cos (C)=\frac{b_1}{a}\\ & \to b=b_1+b_2=a\cdot \cos (C)+c\cdot \cos (A)\\ \\ & \text{By}\overline{CE},\mathrm{△}AEC\text{and}\mathrm{△}CEB\\ & \to \cos (A)=\frac{c_2}{b},\cos (B)=\frac{c_1}{a}\\ & \to c=c_1+c_2=b\cdot \cos (A)+a\cdot \cos (B)\end{array}$$

식 2의 cos제2법칙은 cos 제1법칙(식 1)으로 부터 유도할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(식 2)}& & a^2=b^2+c^2-2bc·\cos (A)& b^2=a^2+c^2-2ac·\cos (B)\\ & c^2=a^2+b^2-2ab·\cos (C)\end{array}$$

식 2의 각 식의 우항 즉, a, b, c의 제곱은 식 1의 cos1 법칙을 치환하여 식 3과 같이 정리합니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(식 3)}& & a^2=ab·\cos (C)+ac·\cos (B)& b^2=ab·\cos (C)+bc·\cos (A)\\ & c^2=ac·\cos (B)+bc·\cos (A)\end{array}$$

식 3으로 부터 $a^2-b^2-c^2$을 계산합니다.

$$\begin{array}{rl}{a}^2-b^2-c^2& =ab·\cos (C)+ac·\cos (B)-ab·\cos (C)-bc·\cos (A)-ac·\cos (B)-bc·\cos (A)\\ & =-2bc·\cos (A)\\ & \because a^2=b^2+c^2-2bc·\cos (A)\\ b^2-a^2-c^2& =ab·\cos (C)+bc·\cos (A)-ab·\cos (C)-ac·\cos (B)-ac·\cos (B)-bc·\cos (A)\\ & =-2ac·\cos (B)\\ & \because b^2=a^2+c^2-2ac·\cos (B)\\ c^2-a^2-b^2& =ac·\cos (B)+bc·\cos (A)-ab·\cos (C)-ac·\cos (B)-ab·\cos (C)-bc·\cos (A)\\ & =-2ab·\cos (c)\\ & \because c^2=a^2+b^2-2ab·\cos (c)\end{array}$$

cos1과 2법칙은 다음과 같이 파이썬 함수로 작성하여 사용할 수 있습니다. 함수에서 인수로 사용되는 len1, len2는 길이이며 ang1, ang2는 각으로 radian이어야 합니다.

#cos 1법칙
def cos1lawS(len1, len2, ang1, ang2):
  return(len1*cos(ang2)+len2*cos(ang1))
#cos2법칙
def cos2lawS(len1, len2, ang):
  return((len1**2+len2**2-2*len1*len2*cos(ang))**0.5)

예)

길이 a, b, c가 각각 1, 1, 0.52이며 각 선분에 대응되는 각 A, B, C는 각각 $\frac{5\pi }{12},\frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{6}$인 삼각형에 대해 cosin 법칙을 적용하여 봅니다.

작성한 함수 cos1law()를 적용하여 cos 1 법칙을 확인합니다.

A, B, C=5*np.pi/12, 5*np.pi/12, np.pi/6 
a, b, c=1,1, 0.52

a1=cos1law(b, c, B, C ); a1.round(2)

1.0

b1=cos1law(a, c, A, C)
c1=cos1law(a, b, A, B)
b1.round(2), c1.round(2)

(1.0, 0.52)

작성한 함수 cos2law()를 적용하여 cos 2 법칙을 확인합니다.

a2=cos2law(b, c, A)
b2=cos2law(a, c, B)
c2=cos2law(a, b, C)
a2.round(2), b2.round(2), c2.round(2)

(1.0, 1.0, 0.52)