[math] 몬테카를로 시뮬레이션:π 구하기

몬테카를로 시뮬레이션: $\pi$ 구하기

몬테카를로 시뮬레이션은 예측에 불확실성 또는 무작위성을 포함할 수 있는 확률적 모델로 어떤 사건의 가능한 결과를 추정하기 위해 랜덤변수에 대응하는 확률을 적용합니다. 예를 들어 $\pi$ 값을 추정하기 위해 이 모델을 적용할 수 있습니다.

반지름이 1이 원의 넓이는 다음과 같습니다.

\begin{align}\tag{식 1}x^2+y^2&=1\\ A&=\pi r^2\\&=pi\\ A:&\;\text{원의 넓이}\\r:&\;\text{원의 반지름}\end{align}

식 1의 원 중 그림 1과 같이 1사분면에 위치한 부분의 면적은 $\frac{\pi}{4}$가 될 것입니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

그림 1. $x^2+y^2=1$의 1사분면 영역.

x=np.linspace(0, 1, 100)
y=np.sqrt(1-x**2)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.fill_between(x, y, color='red', alpha=0.3)
ax.vlines(1, 0, 1, color="k")
ax.hlines(1, 0, 1, color="k")
ax.spines['left'].set_position(("data", 0))
ax.spines['bottom'].set_position(("data", 0))
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
plt.show()

그림 1에 임의의 점을 입력하는데 빨간 색 내에 위치할 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

\begin{align}\tag{식 2}\text{probability}&=\frac{빨간색 영역의 면적}{전체면적}\\&=\frac{\frac{\pi}{4}}{1}\\&=\frac{\pi}{4}\end{align}

몬테카를로 시뮬레이션은 확률론적 접근으로 불확실성을 가집니다. 즉, 그림 1에 임의의 점을 하나 생성할 경우의 확률이 식 2와 같다는 것을 의미하는 것은 아닙니다. 그러나 확률의 큰수의 법칙에 따라 점의 생성횟수를 증가시킬수록 식 2에 계산된 값에 근접합니다. 이를 역으로 확률에 의해 $/pi$의 근사값을 추정할 수 있습니다.

n=10000
x=np.linspace(0, 1, 100)
y=np.sqrt(1-x**2)
plt.figure(figsize=(4,3))
plt.plot(x, y, lw='3', color="white")
d=np.random.random([n, 2])
a=np.sqrt(1-d[:,0]**2)>d[:,1]
ra=np.where(a==True)[0]
ba=np.where(a==False)[0]
plt.scatter(d[ra,0], d[ra,1], color="red")
plt.scatter(d[ba,0], d[ba,1], color="blue")
prob=len(ra)/n
pi=4*prob
print(pi)
plt.show()

3.1344

위 코드의 설명

• n: 시행횟수
• x=np.linspace(0, 1, 100): 구간 [0, 1]에서 100개의 값을 추출
• y=np.sqrt(1-x**2):x의 각값에 대응하는 y값으로 $\sqrt(1-x^2)$
• d=np.random.random([n, 2]) : [0, 1)구간에서 랜덤수를 추출.d의 0열, 1열은 각각 x, y의 좌표
• a=np.sqrt(1-d[:,0]**2)>d[:,1]: y좌표가 원의 경계 내부에 위치하면 True, 아니면 False
• ra=np.where(a==True)[0]: 위 객체 a에서 True의 인덱스
• ba=np.where(a==False)[0]: 위 객체 a에서 False의 인덱스
• plt.scatter(d[ra,0], d[ra,1], color="red") : True인 점의 색은 빨간
• plt.scatter(d[ba,0], d[ba,1], color="blue"): False인 점의 색은 파란
• prob=len(ra)/n: 총 시행횟수에 대해 빨란 색의 점의 수는 확률이 되며 이것은 위 빨간 영역의 면적과 같음
• pi=4*prob: $\frac{\pi}{4}=\frac{\text{빨간점의 수}}{\text{총시행횟수}}$