[Linear Algebra] 삼각 행렬(Triangular matrix)

삼각 행렬(Triangular matrix)

식 1과 같이 삼각 행렬은 대각요소를 기준으로 그 요소들을 포함하여 윗 부분 또는 아래 부분의 요소들이 0이 아닌 값으로 구성된 행렬입니다. 0이 아닌 값들이 아랫 부분을 구성하는 경우는 하삼각 행렬(lower triangular matrix), 반대의 경우는 상삼각 행렬(upper triangular matrix)이 됩니다.

\begin{align}\text{하삼각행렬}:\; \begin{bmatrix}{\color{red}a_{11}} & 0 & 0\\ a_{21} & {\color{red}a_{22}} & 0\\a_{31} & a_{32} & {\color{red}a_{33}}\end{bmatrix}\\ \text{상삼각행렬}:\; \begin{bmatrix}{\color{red}a_{11}} & a_{12} & a_{13}\\0& {\color{red}a_{22}} & a_{23}\\0 & 0 & {\color{red}a_{33}}\end{bmatrix} \end{align}

(식 1)

• 하삼각행렬(lower triangular matrix)
  • 대각 요소들을 기준으로 그 위 부분이 모두 0인 행렬
  • np.tril(x, k=0) 함수 사용. 이 함수의 인수 x는 배열 객체이며 k는 행렬의 대각요소들의 위치를 지정합니다. k의 기본값 0은 인덱스[0,0]을 기준으로하는 대각요소들을 의미합니다.
• 상삼각 행렬(upper triangular matrix)
  • 대각 요소들을 기준으로 그 아래 부분이 모두 0인 행렬.
  • np.triu(x, k=0) 함수 사용.

np.random.seed(2)
x=np.random.randint(1, 10, 9).reshape((3,3))
print(x)

[[9 9 7]
 [3 9 8]
 [3 2 6]]

print(np.triu(x))

[[9 9 7]
 [0 9 8]
 [0 0 6]]

다음은 k=1로 지정하였으므로 기준이 되는 대각 요소들은 인덱스 [0, 1]의 요소를 기준으로 합니다.

print(np.triu(x, k=1))

[[0 9 7]
 [0 0 8]
 [0 0 0]]

print(np.tril(x))

[[9 0 0]
 [3 9 0]
 [3 2 6]]

삼각 행렬은 다음과 같은 특성을 보입니다.

• 하삼각행렬의 전치행렬은 상삼각행렬이 되고 그 역도 성립됩니다.
• 삼각행렬의 대각원소가 모두 0이라면 비가역행렬이 됩니다.
• 가역적인 상삼각행렬과 하삼각행렬의 역행렬은 각각 상삼각행렬, 하삼각행렬이 됩니다.

tu=np.triu(x)
print(tu)

[[9 9 7]
 [0 9 8]
 [0 0 6]]

print(tu.T)

[[9 0 0]
 [9 9 0]
 [7 8 6]]