[Linear Algebra] 외적(Outer product)

외적(Outer product)

3차원 공간에서 임의의 두 벡터들과 수직인 벡터는 외적(outer product, cross product)에 의해 산출됩니다. 3차원의 두 벡터 a, b의 외적은 식 1와 같이 산출합니다. 두 벡터의 외적은 "×" 기호로 나타냅니다.

a = [a1  a2  a3] b = [b1  b2  b3]	(식 1)
a×b = [a2b3 − a3b2  a3b1 − a1b3  a1b2 − a2b1]

식 1과 같이 벡터들의 외적은 벡터입니다. 이 식의 계산은 식 2와 같이 소행렬식과 여인수를 사용하여 계산할 수 있습니다.

\begin{align}\begin{bmatrix}a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} a_2& a_3\\ b_2& b_3\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_3& a_1\\ b_3& b_1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_1& a_2\\ b_1& b_2\end{vmatrix}\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2& a_3b_1-a_1b_3& a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}\end{align}

(식 2)

벡터의 외적은 numpy.cross() 함수를 사용하여 계산합니다.

예 1)

두 벡터 a, b의 외적을 계산합니다.

a = [2  1  -1]  b = [-3  4  1]

a=np.array([2,1, -1])
b=np.array([-3, 4, 1])
print(np.cross(a, b))

[ 5  1 11]

위 결과 벡터는 그림 1에서 나타낸 것과 같이 벡터 a, b에 각각 수직입니다.

그림 1. 두 벡터의 외적.

만약 두 벡터가 평행하다면 즉, 교차하는 지점이 없다면 두 벡터의 외적은 존재할 수 없습니다. 이 관계는 식 3과 같이 나타낼 수 있습니다.

‖a×b‖ = ‖a‖‖b‖sin(θ)

(식 3)

식 3에서 θ는 두 벡터 a, b의 사잇각이며 0 또는 180°일 경우 외적은 0이 됩니다.

θ = 0 or 180° → sin(θ) = 0, ‖a×b‖ = 0

외적을 사용하여 좌표를 통과하는 방정식을 계산할 수 있습니다.

예 2)

a(2,-2, 1), b(-1, 0, 3), c(5, -3, 4)의 세 좌표들을 포함하는 평면의 식을 계산해 봅니다.

a = (2,  1,  -1)  b = (-3,  4,  1)  c = (5,  -3,  4)

세 점을 포함하는 평면은 벡터 ab와 벡터 ac를 포함합니다.

a=np.array([2,-2, 1])
b=np.array([-1,0,3])
c=np.array([5, -3, 4])
ab=b-a
print(ab)

[-3,  2,  2]

ac=c-a
print(ac)

[ 3, -1,  3]

위 두 벡터에 수직인 벡터는 외적으로 계산할 수 있습니다.

r=np.cross(ab, ac)
print(r)

[ 8, 15, -3]

r은 벡터 ab와 벡터 ac에 의해 이루어지는 평면과 수직입니다. 그러므로 벡터 r과 평면의 임의점 (x, y, z) 사이의 내적은 0이 됩니다.

다음 코드는 미지수 x, y, z을 포함한 식을 생성합니다. 이것은 x, y, z을 문자가 아닌 기호로 인식하여 계산이 가능하게 하도록 하는 sympy 패키지를 사용합니다.

x, y, z=symbols('x y z')
X=Matrix([x,y,z])
print(X)

Matrix([[x], [y], [z]])

다음 객체 AX는 평면위의 임의의 좌표 X와 a의 차로 생성되는 벡터입니다.

AX=X-Matrix(a)
print(AX)

Matrix([[x - 2], [y + 2], [z - 1]])

AX와 r은 수직관계이므로 내적은 0입니다.

print(AX.T*Matrix(r))

Matrix([[8*x + 15*y - 3*z + 17]])

위 결과로부터 평면의 식은 8x + 15y - 3z + 17 = 0이 됩니다.