[data analysis] 기하분포(Geometric distribution)

기하분포(Geometric distribution)

결과가 성공과 실패인 베르누이 시행을 반복하여 첫번째로 성공이 나올때까지의 확률변화의 분포를 기하분포 (Geometric distribution)라고 합니다. 예를 들어 성공확률이 p인 베르누이 시행을 반복시행하여 최초 성공(s)이 되는 경우를 확률변수 X로 하는 확률질량함수는 식 1과 같이 될 것입니다.

Sx = {1, 2, · · · }	(식 1)
f(1) = P(X = 1) = p
f(2) = P(X = 2) = (1 − p)p
⋮

위의 결과를 일반화하면 기하분포의 확률질량함수는 식 2와 같이 공식화 할 수 있습니다.

f(x) = P(X = x) = (1 − p)x−1p

(식 2)

식 2와 같이 확률질량함수는 매개변수 p에만 의존하므로 기하분포는 식 3으로 표시하며 유일한 매개변수에 의한 기하분포의 변화는 그림 1에서 확인할 수 있습니다.

X ∼ Geometric(p)

(식 3)

그림 1 모수에 따른 기하분포의 변화.

fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
p=[p1,p2,p3,p4]
col=['g','b','r','k']
nme=[0.1, 0.3, 0.5, 0.7]
for i in range(len(p)):
    ax.plot(x, p[i], color=col[i], label=f"Geometric({nme[i]})")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.legend(loc="best")
plt.show()

X ∼ Geometric(p) 분포의 기대값과 분산을 모멘트생성함수(MGF)로부터 유도해 봅니다. 식 4는 기하분포의 MGF 입니다.

\begin{align}M_x(t)&=E(e^{tX})\\ &=\sum^\infty_{x=1} e^{tx}(1-p)^{x-1}p\\ &=\frac{p}{q}\left(qe^t\right)^x\\&=\frac{p}{q}\frac{qe^t}{1-qe^t}\\& =\frac{pe^t}{1-qe^t}\\\leftarrow&\;1-qe^t \gt 0, 1-q=p \end{align}

(식 4)

식 4에서 (qe^t)^x의 무한 급수는 5와 같이 정리할 수 있습니다.

$$\begin{align}S& =qe^t+\left(qe^t\right)^2+\left(qe^t\right)^3+\cdots\\ \underline{\qquad\left(qe^t\right)S} &\underline{=\left(qe^t\right)^2+\left(qe^t\right)^3+\left(qe^t\right)^4+\cdots}\\ S-\left(qe^t\right)S&=qe^t\\ \therefore\; S&=\frac{qe^t}{1-qe^t}\end{align}$$

(식 5)

식 4의 모멘트 생성함수로부터 기대값과 분산을 계산하면 식 6와 같습니다.

\begin{align} E(X) &= M^\prime_x(0)=\frac{1}{p}\\Var(X)&=M^{\prime\prime}_x(0)- \left(M^\prime_x(0)\right)^2=\frac{q}{p^2}\end{align}

(식 6)

위 식들은 다음과 같이 코드화 할 수 있습니다.

p, t, x=symbols("p, t, x")
M=p*exp(t)/(1-(1-p)*exp(t))
dM=M.diff(t)
print(simplify(dM))

p*exp(t)/((p - 1)*exp(t) + 1)**2

E=dM.subs(t, 0)
print(simplify(E))

1/p

ddM_0=M.diff(t, 2).subs(t, 0)
print(simplify(ddM_0))

(2 - p)/p**2

var=ddM_0-E**2
print(simplify(var))

(1 - p)/p**2