[data analysis] 이항정리와 큰수의 법칙

이항정리와 큰수의 법칙

조합(combination)은 미지수들로 구성된 다항식의 계수를 결정하기 위해 적용됩니다. 예를 들어 (a + b)²의 경우를 전개하면 a² + 2ab + b²이 됩니다. 이 전개된 식의 각 계수들은 표 1과 같이 두 항 a, b중에 b를 0번, 1번, 그리고 2번 선택하는 경우의 수와 같습니다.

표 1 (a + b)²의 각 계수에 대한 조합표현

선택 횟수	결과	표현
0	2C0 = 1	a2
1	2C1 = 2	2ab
2	2C2 =1	b2

표 1과 같이 이항식을 전개하는 과정에 조합을 적용하는 것을 이항정리라고 하며 식 1과 같이 일반화합니다.

[이항정리(Binomial Theory)]

순서를 고려하지 않고 n개 중에서 서로 다른 k개를 선택하는 경우로 식 1과 같이 계산되며 이 정의를 이항정리라고 합니다.

$$(x+y)^n=\sum^n_{k=0} \binom{n}{k}x^{n-k}y^k$$

(식 1)

예를 들어 위 식을 사용하여 (x + y)³에서 x²y의 계수는 다음과 같이 결정할 수 있습니다.

special.comb(3,1)

3.0

예 1)

학생 20명을 정원이 6, 4, 5, 5 명인 방 4개를 배정할 수 있는 경우의 수는 결정합니다.

순서를 고려하지 않고 선택하는 경우로 조합입니다. 식 2과 같이 선택할 모집단과 샘플의 크기가 고려하여 계산합니다.

\begin{align}&\binom{20}{6}\binom{14}{4}\binom{10}{5}\binom{5}{5}\\&=\frac{20!}{6!4!}\frac{14!}{4!10!}\frac{10!}{5!5!}\frac{5!}{5!0!}\\&=\frac{20!}{6!4!5!5!}\\&=\binom{20}{6\, 4\, 5\, 5}\end{align}

(식 2)

num=[6, 4, 5,5]
n=20
total_case=1
for i in num:  
    total_case *= special.comb(n, i)
    n -=i
total_case  

9777287520.0

조합결과를 반환하는 함수 scipy.special.comb(n, k)으로 위의 반복계산을 대신할 수 있습니다. 다음 코드와 같이 함수의 인수인 n과 k는 각각 리스트 형태로 여러개의 수들을 전달할 수 있습니다.

re=scipy.special.comb([20,14, 10, 5],[6, 4, 5, 5])
print(re)

[3.876e+04 1.001e+03 2.520e+02 1.000e+00]

위 결과의 각 성분을 곱하기 위해 np.prod() 함수를 적용합니다.

np.prod(re)

9777287520.0

• scipy.special.comb(n,k)
  • n개 중에서 중복없이 순서를 고려하지 않고 k개를 선택하는 경우의 수 (조합)
• numpy.prod(x, axis=None)
  • x: 배열 객체
  • 지정한 축(axis)를 기준으로 x의 각 요소들의 곱을 계산

위 예와 같이 여러 번의 선택에 대한 조합 계산은 식3과 같이 일반화 할 수 있습니다.

$$\binom{n}{k_1\,k_2\,\cdots\,k_r}=\frac{n!}{k_1!\,k_2!\,\cdots\,k_r!}$$

(식 3)

식 3을 적용한 이항정리의 확장식(식 4)은 전개된 다항식의 계수들을 결정하기 위해 적용할 수 있습니다.

\begin{align}&(x_1+x_2+\cdots+x_r)^n\\&\quad \sum \binom{n}{k_1\,k_2\,\cdots\,k_r}x_1^nx_2^n\cdots x_n^2 \end{align}

(식 4)

예 2)

주사위 하나를 던지는 확률실험에서 다음을 결정합니다.

1. 1을 선택할 확률
2. 1 또는 2를 선택할 확률
3. 어떤 시행에서 100%가 되는 경우
4. 2를 제외한 모든 수 중의 하나가 나올 확률

a. 표본공간 S={1,2,3,4,5,6}에서 사건 1은 6개 중의 하나이므로 그 발생확률은 ¹/₆이 됩니다.

확률은 전체 사건 중에서 특정사건이 일어나는 비율이므로 이론적으로 주사위를 6번 던지면 각 눈이 한번씩 나와야 하지만 실제 시행에서 같은 빈도가 같은 결과를 얻는 것은 어렵습니다. 그러나 그림1과 같이 시행 횟수를 증가시키면 각 사건의 발생확률은 이론값에 근접합니다.

p={}
for i in range(1, 1000):
    x=np.random.randint(1, 7, size=i)
    p[i]=len(np.where(x==1)[0])/i
re=np.random.choice(list(p.values()), 4)
print(re.round(3))

[0.160 0.145 0.158 0.146 0.168])

그림 1 주사위 1000번 시행시 1의 발생확률.

plt.figure(figsize=(5, 3))
plt.plot(p.keys(), p.values())
plt.hlines(1/6, 0, 1000, color="red", linestyle="--")
plt.xlabel("# of trial", size=12, weight="bold")
plt.ylabel("Probability", size=12, weight="bold")
plt.text(910, 0.2, "p=1/6", color="red" , size="11")
plt.show()

그림 1에서 나타낸 것과 같이 시행횟수가 증가할수록 확률은 이론값인 ¹/₆에 수렴하는 것을 알 수 있습니다. 이것을 큰수의 법칙 (Law of Large Numbers)이라고 합니다. 즉, 시행 횟수를 증가하면 이론적인 확률에 수렴됩니다.

b. 표본공간으로부터 대상 사건집합은 E={1, 2}이고 각 사건은 독립(교집합 = ∅)이므로 사건 E가 일어날 확률은 식 5와 같이 각 확률의 합이 됩니다.

\begin{align}& P(X=1)=\frac{1}{6} \quad P(X=2)=\frac{1}{6}\\ & P(X=1\; \text{or}\; X=2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\end{align}

(식 5)

for i in [10, 100, 1000, 10000]:
    x=np.random.randint(1, 7, size=i)
    re=np.around((len(np.where(x==1)[0])+ len(np.where(x==2)[0]))/i, 4)
    print(f'시행횟수:{i}, 확률:{re}')

시행횟수:10, 확률:0.4
시행횟수:100, 확률:0.44
시행횟수:1000, 확률:0.341
시행횟수:10000, 확률:0.3298

c. 주사위를 시행할 경우 나올수 있는 모든 경우를 의미합니다. 즉, 100%가 되는 확률의 사건 집합은 포본공간과 같은 E = {1,2, 3, 4, 5, 6} 입니다.

d. 전체에서 2가 나올 확률을 제외합니다(식 6).

$$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$

(식 6)

예 3)

주사위 두 개를 던지는 시행에서 두 주사위 모두 3이 나오는 확률을 결정합니다.

주사위 두 개를 시행한 표본 공간의 수는 36개입니다. 첫 번 시행의 결과는 두 번째 시행에 영향을 줄 수 없습니다. 즉, 독립사건이므로 두 주사위의 모두 눈이 3이 될 확률은 각 확률을 곱한 $\frac{1}{36}$이 됩니다.

case=list(itertools.product(range(1, 7), repeat=2))
print(case)

[(1, 1), (1, 2), ..., (6, 5), (6, 6)]

n=0
for i, j in case:
    if (i==3) &(j==3):
        n +=1
n

1

prob=n/len(case)
round(prob, 4)

0.0278