R 등분산성( Homoscedasticity)

• Bartlett 검정
• Fligner 검정
• Leven 검정

등분산성( Homoscedasticity)

Bartlett 검정

Bartlett 검정은 집단간 분산에 대해 등분산성을 검정합니다. 이 검정은 두 집단 이상의 자료형식에서도 적용할 수 있으므로 t-검정 또는 일원분산분석에 적용할 자료의 등분산성 가정을 위한 검정에 사용합니다. 이 검정은 정규성에 부합하는 자료에만 적용될 수 있습니다.

검정 통계량은 다음과 같습니다.

$$T=\frac{(N-k)\ln(s^2_p)-\sum^k_{i=1}(N_i-1)\ln(s^2_i)}{1+\frac{1}{3(k-1)}\left(\left(\sum^k_{i=1}\frac{1}{N_i-1}\right) - \frac{1}{N-k}\right)}$$

• s²_i: i 레벨(그룹)의 분산
• N: 자료의 크기
• k: 레벨(집단)dml tn
• s²_p: 합동분산(pooled variance)
$$s^2_p=\sum^k_{i=1}\frac{N_i-1}{N-k}s^2_i$$

검정의 가설은 다음과 같습니다.

귀무가설(H0): 집단간 분산이 같다.

대립가설(Ha): 최소한 두 집단간의 분산이 다르다.

multcomp 패키지의 데이터 셋 choloesterol을 대상으로 이 검정을 실시 합니다. 이 데이터는 다음과 같이 요인변수인 trt와 연속형 변수인 response로 구성됩니다. 요인은 5개의 수준(그룹)을 포함합니다. 그러므로 각 그룹 대응한 response 값들에 대한 등분산성을 평가합니다.

library(tidyverse)
library(rstatix)
library(multcomp)

chol %>% sample_n_by(trt, size=1)

# A tibble: 5 × 2
  trt    response
       
1 1time      2.71
2 2times     8.60
3 4times    12.4
4 drugD     17.6
5 drugE     21.5

bartlett.test(response~trt, data=cholesterol)

        Bartlett test of homogeneity of variances

data:  response by trt
Bartlett's K-squared = 0.6, df = 4, p-value = 1

위 결과는 5개 그룹의 분산이 같다는 귀무가설을 기각할 수 없습니다.

Fligner 검정

데이터의 정규성을 파악할 수 없는 경우 비모수 방법인 Fligner 검정으로 등분산성을 검정할 수 있습니다. Fligner-Killeen 중앙값 검정은 정규성에서 벗어나는 것에 대해 강력한 분산의 동질성에 대한 검정입니다(Conover et al.(1981), [CON1]). 중심 표본의 절대값 순위와 가중치를 사용하는 k-표본 단순 선형 순위 방법입니다.

$$a_i=\text{qnorm}\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2(n+1)}\right)$$

qnorm()은 정규분포에서 인수에 대응하는 quantiles을 반환하는 R 함수입니다. R 에서 fligner.test() 함수를 적용합니다.

fligner.test(response~trt, data=cholesterol)

        Fligner-Killeen test of homogeneity of variances

data:  response by trt
Fligner-Killeen:med chi-squared = 0.74277, df = 4, p-value = 0.946  

위 결과 역시 bartlett 검정과 같습니다. 높은 p-value로서 등분산성의 귀무가설을 기각할 수 없습니다.

Leven 검정

Level 검정은 Bartlett 검정의 대안으로 자료의 정규성이 불확실한 경우 레벨 k의 등분산성을 검정합니다. 그러나 정규성이 확실한 경우 Bartlett 검정이 우선됩니다.

• H0: σ₁ = σ₂ = … = σ_k
• H1: L 그룹의 모집단 최소한 한 그룹의 분산이 다름

검정통계량은 다음과 같습니다.

$$\begin{align}&W=\frac{N-k}{k-1}\frac{\sum^k_{i=1}n_i(Z_{i.}-Z_{..})^2}{\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}(Z_{ij}-Z_{i.})^2}\\ &Z_i=\frac{1}{n_i}\sum^{n_i}_{j=1}Z_{ij}\\ &Z_{..}=\frac{1}{N}\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}Z_{ij}\end{align}$$

• k: 그룹의 수
• n_i: i번째 그룹에 속하는 샘플의 수
• N: 총 샘플 수
• Z_ij: i번째 그룹의 j번째 관측값 Y_ij과 Y_i의 L₁ norm입니다.

Z_ij는 다음 식과 같이 계산됩니다.

$$\begin{equation}Z_{ij}=\Vert Y_{ij}-\bar{Y}_i \Vert \end{equation}$$

Y_i은 i번째 그룹의 중간값(median), 또는 평균(mean), 또는 절삭평균(trimmed mean)입니다.

Levene은 원래 평균을 사용할 것을 제안했지만 1974년 Brown과 Forsythe의 논문은 Levene의 검정을 중앙값 또는 절삭 평균을 사용하도록 확장했습니다. 중위수는 일반적으로 비정규 데이터에 대해 더 강력하므로 권장되지만 표본의 기본 분포가 알려진 경우 절삭평균이 더 나은 성능을 제공할 수 있습니다.

W 테스트 통계는 k−1 및 n−k 자유도로 대략 F-분포에 부합합니다.

car패키지의 leveneTest()함수를 적용합니다.

leveneTest(y, group, [data], center=median, trim,...)

y: 반응변수

group: 설명변수, 반응변수~설명변수와 같은 formular로 대체 가능

formula 사용시 data를 지정합니다.

center: 대표값(중앙값, 평균, 절삭평균), 기본은 중앙값

trim: 절삭평균을 사용할 경우 절삭할 기준을 지정

library(car)
leveneTest(response~trt, data=cholesterol)

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
      Df F value Pr(>F)
group  4  0.0755 0.9893
      45