기본 콘텐츠로 건너뛰기

벡터와 행렬에 관련된 그림들

R t-검정

내용

t-tests

두 그룹을 비교하는 연구에서 사용합니다. 범주형 변수의 경우 χ2 분석이나 상관성 분석으로 진행할 수 있습니다.

MASS 패키지와 함께 배포되는 UScrime 데이터 세트를 사용합니다. 여기에는 1960년 미국 47개 주에서 범죄율에 대한 처벌 제도의 영향에 대한 정보가 포함되어 있습니다. 관심 결과 변수는 Prob(수감 가능성), U1(14~24세 도시 남성의 실업률) 및 U2( 35-39세 도시 남성의 실업률). 범주형 변수 So(남부 주에 대한 지표 변수)는 그룹화 변수로 사용됩니다.

library(MASS)
head(UScrime, 2)
    M So  Ed Po1 Po2  LF  M.F Pop  NW  U1 U2 GDP Ineq     Prob    Time    y
1 151  1  91  58  56 510  950  33 301 108 41 394  261 0.084602 26.2011  791
2 143  0 113 103  95 583 1012  13 102  96 36 557  194 0.029599 25.2999 1635
aggregate(Prob~So, data=UScrime, length)
  So Prob
1  0   31
2  1   16

Independence t-test

남부에서 범죄를 저지르면 투옥될 가능성이 더 높습니까? 관심 대상의 비교는 변수 So와 Prob입니다. 독립 t-검정은 두 모집단 평균이 같다는 가설을 검정하는 데 사용할 수 있습니다. 여기에서는 두 그룹이 독립적이고 데이터가 정규 모집단에서 추출되었다고 가정합니다.

t 검정은 다음의 함수를 적용합니다.

t.test(y~x, data)
y는 숫자이고 x는 이분형 변수입니다.
t.test(y1, y2)
y1, y2 모두 숫자형 벡터로서 각 그룹의 결과변수
data는 변수들을 포함하는 matrix 또는 dataframe
R의 t.test()의 기본은 unequal variance과 welsh 자유도를 적용
등분산 가정을 위해서는 var.equal=TRUE의 인수를 지정해야 함
기본으로 양쪽 검정(two-tail)이고 검정의 방향을 지정하기 위해 alternative='less" 또는 'greater'를 지정

다음 검정에서 변수 so는 southern, nonsourthern로 두 그룹으로 구분됩니다. 각 그룹에 대한 Prob에 대한 양쪽검정을 실시하며 이분산을 가정합니다.

t.test(Prob~So, data=UScrime)
        Welch Two Sample t-test

data:  Prob by So
t = -3.8954, df = 24.925, p-value = 0.0006506
alternative hypothesis: true difference in means between group 0 and group 1 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.03852569 -0.01187439
sample estimates:
mean in group 0 mean in group 1 
     0.03851265      0.06371269 

위 결과는 "그룹1과 그룹2의 확률이 같다"라는 귀무가설을 기각할 수 있습니다.

Dependent r-test(짝비교)

비교 대상의 두 그룹이 서로 관련이 있을 경우 짝비교를 적용합니다. 즉, UScrime의 변수 U1, U2는 각각 젊은 남성(14~24세)의 실업률이 나이든 남성(35~39세)의 실업에 관한 것으로 젊은 사람의 실업은 나이든 사람의 실업과 완전히 독립적이지 않습니다. 이와같이 관련이 있는 두 집단의 비교 검정은 종속적 t-test (paired test)를 적용합니다. t.test(y1, y2, paired=TRUE) 함수를 사용합니다.

MuSd<-sapply(UScrime[c('U1','U2')], function(x){c(mean=mean(x), sd=sd(x))})
round(MuSd, 3)
         U1     U2
mean 95.468 33.979
sd   18.029  8.445
with(data=UScrime,t.test(U1, U2, paired=TRUE))
        Paired t-test

data:  U1 and U2
t = 32.407, df = 46, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 57.67003 65.30870
sample estimates:
mean difference 
       61.48936 

위 결과는 두 그룹의 평균이 같다는 귀무가설을 기각할 수 있습니다. 실제로 젊은 사람들의 평균이 훨씬 높습니다. 실제 모집단 평균이 같을 경우 위 표본과 같은 두 그룹의 평균 차이를 보일 확률은 2.2·10-16보다도 작습니다.

댓글

이 블로그의 인기 게시물

[Linear Algebra] 유사변환(Similarity transformation)

유사변환(Similarity transformation) n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation) 이라고 합니다. $$\tag{1} A = PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP = B $$ 식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다. \begin{align}\tag{식 2} B - \lambda I &= P^{-1}AP – \lambda P^{-1}P\\ &= P^{-1}(AP – \lambda P)\\ &= P^{-1}(A - \lambda I)P \end{align} 식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다. \begin{align} &\begin{aligned}\textsf{det}(B - \lambda I ) & = \textsf{det}(P^{-1}(AP – \lambda P))\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}((A – \lambda I)) \textsf{det}(P)\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) \textsf{det}((A – \lambda I))\\ &= \textsf{det}(A – \lambda I)\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\because \; \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) &= \textsf{det}(P^{-1}P)\\ &= \textsf{det}(I)\end{aligned}\end{align} 유사행렬의 특성 유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B' 와 같...

[sympy] Sympy객체의 표현을 위한 함수들

Sympy객체의 표현을 위한 함수들 General simplify(x): 식 x(sympy 객체)를 간단히 정리 합니다. import numpy as np from sympy import * x=symbols("x") a=sin(x)**2+cos(x)**2 a $\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$ simplify(a) 1 simplify(b) $\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ simplify(b) x - 1 c=gamma(x)/gamma(x-2) c $\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(x - 2\right)}$ simplify(c) $\displaystyle \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$ 위의 예들 중 객체 c의 감마함수(gamma(x))는 확률분포 등 여러 부분에서 사용되는 표현식으로 다음과 같이 정의 됩니다. 감마함수는 음이 아닌 정수를 제외한 모든 수에서 정의됩니다. 식 1과 같이 자연수에서 감마함수는 factorial(!), 부동소수(양의 실수)인 경우 적분을 적용하여 계산합니다. $$\tag{식 1}\Gamma(n) =\begin{cases}(n-1)!& n:\text{자연수}\\\int^\infty_0x^{n-1}e^{-x}\,dx& n:\text{부동소수}\end{cases}$$ x=symbols('x') gamma(x).subs(x,4) $\displaystyle 6$ factorial 계산은 math.factorial() 함수를 사용할 수 있습니다. import math math.factorial(3) 6 a=gamma(x).subs(x,4.5) a.evalf(3) 11.6 simpilfy() 함수의 알고리즘은 식에서 공통사항을 찾아 정리하...

sympy.solvers로 방정식해 구하기

sympy.solvers로 방정식해 구하기 대수 방정식을 해를 계산하기 위해 다음 함수를 사용합니다. sympy.solvers.solve(f, *symbols, **flags) f=0, 즉 동차방정식에 대해 지정한 변수의 해를 계산 f : 식 또는 함수 symbols: 식의 해를 계산하기 위한 변수, 변수가 하나인 경우는 생략가능(자동으로 인식) flags: 계산 또는 결과의 방식을 지정하기 위한 인수들 dict=True: {x:3, y:1}같이 사전형식, 기본값 = False set=True :{(x,3),(y,1)}같이 집합형식, 기본값 = False ratioal=True : 실수를 유리수로 반환, 기본값 = False positive=True: 해들 중에 양수만을 반환, 기본값 = False 예 $x^2=1$의 해를 결정합니다. solve() 함수에 적용하기 위해서는 다음과 같이 식의 한쪽이 0이 되는 형태인 동차식으로 구성되어야 합니다. $$x^2-1=0$$ import numpy as np from sympy import * x = symbols('x') solve(x**2-1, x) [-1, 1] 위 식은 계산 과정은 다음과 같습니다. $$\begin{aligned}x^2-1=0 \rightarrow (x+1)(x-1)=0 \\ x=1 \; \text{or}\; -1\end{aligned}$$ 예 $x^4=1$의 해를 결정합니다. solve() 함수의 인수 set=True를 지정하였으므로 결과는 집합(set)형으로 반환됩니다. eq=x**4-1 solve(eq, set=True) ([x], {(-1,), (-I,), (1,), (I,)}) 위의 경우 I는 복소수입니다.즉 위 결과의 과정은 다음과 같습니다. $$x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)=0 \rightarrow x=\pm \sqrt{-1}, \; \pm 1=\pm i,\; \pm1$$ 실수...