caracas패키지를 이용한 극한, 미분, 적분
symbol과 subs()
문자 s1, s2 심벌(기호)로 선언하기 위해
def_sym()를 사용합니다. 이 함수는
symbol() 함수와 같습니다. 그러나 그 사용은 약간의 차이가 있습니다.
def_sym(s1, s2);s1 #s1, s2를 선언
[caracas]: s1
s2
[caracas]: s2
str(s1)
List of 1
$ pyobj:s1
- attr(*, "class")= chr "caracas_symbol"
s3<-s1*s2; s3 #기호 s1, s2의 연산에 의해 선언된 기호
[caracas]: s1*s2
str(s3) #attr(*, "class")= chr "caracas_symbol"
List of 1
$ pyobj:s1*s2
- attr(*, "class")= chr "caracas_symbol"
- subs() 함수는 기호를 다른 문자나 숫자로 대체합니다.
- subs(식 또는 심벌, 'caracas_symbol',대체할 문자 또는 숫자) 또는
- subs('caracas_symbol',대체할 문자 또는 숫자)
-
- %>%: pipe operator는 R에서 동일한 데이터를 대상으로 연속으로 작업하게 해주는 연산자입니다.
s4<-s3 %>%subs("s1", "u+v") %>% subs("s2", "u-v"); s4
[caracas]: (u - v)*(u + v)
s5<-expand(s4); s5
[caracas]: 2 2
u - v
tex(s5)
[1] "u^{2} - v^{2}"
- as_expr(심벌 또는 기호로 구성된 함수): R의 expression 함수로 전환
- as_sym(expression): 심벌 또는 기호로 구성된 함수로 전환
- 위 변환된 객체 모두 caracas 객체입니다.
위 심벌은 식(expression)으로 강제변환됩니다.
e5<-as_expr(s5); e5
expression(u^2 - v^2)
또한 그 역인 식을 심벌로 강제변환이 가능합니다.
as_sym(e5)
[caracas]: 2 2
u - v
def_sym()은 다음의 symbol()에 의해 정의하는 것과 같습니다.
a<-symbol('a')
a
[caracas]: a
b<-symbol('b'); b
[caracas]: b
b1<-symbol('a'); str(b)
List of 1
$ pyobj:b
- attr(*, "class")= chr "caracas_symbol"
b2<-b1+1; b2
[caracas]: a + 1
b3<-subs(b2, 'a', 'k'); b3
[caracas]: k + 1
subs(a,'a', 2)
[caracas]: 2.00000000000000
극한(limit)을 사용하여 자연상수 발견하기
def_sym(n)
f<-(1+1/n)^n; f
[caracas]: n
/ 1\
|1 + -|
\ n/
tex(f)
[1] "\\left(1 + \\frac{1}{n}\\right)^{n}"
위 함수 f를 $n \to \infty$로의 극한을 계산합니다.
lim_f<-lim(f, n, Inf); lim_f
[caracas]: exp(1)
tex(lim_f)
[1] "e"
as_expr(lim_f)
[1] 2.718282
위 limit()함수에서 인수
doit = FALSE로 지정함으로서 극한 결과를 평가하지 않도록 하여 추후에 평가 및/또는 추가 대수적 조작을 위해서만 기호만을 설정할 수 있습니다.
lim_f1_sym<-lim(f, n, Inf, doit=FALSE); lim_f1_sym
[caracas]: n
/ 1\
lim |1 + -|
n->oo\ n/
위 결과는 기본적으로 UTF-8을 사용하는 caracas의 기본 형태입니다. 이 형태는
tex() 함수를 사용하여 다음과 같이 latex 코드로 전환하여 나타낼 수 있습니다.
tex(lim_f1_sym)
[1] "\\lim_{n \\to \\infty} \\left(1 + \\frac{1}{n}\\right)^{n}"
위 결과들에서 tex() 결과들을 latex 형태로 변환하면 다음과 같습니다. (위 결과에서 backspace가 두개씩 출력되는 것은 R 자체의 escape 문자 때문입니다. 즉, '\'가 원래 의미인 backspace로 사용한다는 것을 나타내기 위해 '\\'와 같이 나타내는 것입니다. 그러므로 latex 코드로 변환하기 위해서는 '\'를 사용합니다.)
$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}, \quad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}, \quad e$$
위 결과는 평가되지 않은 상태입니다. 이를 평가하기 위해
doit() 함수를 사용합니다.
lim_f1<-doit(lim_f1_sym); lim_f1
[caracas]: exp(1)
미분과 적분
- def_sym(), symbol(): 변수(심벌)정의
- as_sym(): 함수 정의
- der(): 미분
- int():적분
def_sym(x, a, b, c)
f<-as_sym('a*x+b*x^2+c*sin(x^2)'); f
[caracas]: 2 / 2\
a*x + b*x + c*sin\x /
tex(f)
[1] "a x + b x^{2} + c \\sin{\\left(x^{2} \\right)}"
df<-der(f, x) #=der(f, 'x'); df
df
[caracas]: / 2\
a + 2*b*x + 2*c*x*cos\x /
tex(df)
[1] "a + 2 b x + 2 c x \\cos{\\left(x^{2} \\right)}"
subs(df, "x", 2)
[caracas]: a + 4.0*b - 2.61457448345445*c
f1<-int(df, 'x')
f1
[caracas]: 2 / 2\
a*x + b*x + c*sin\x /
subs(f1, 'x', 4)
[caracas]: 4.0*a + 16.0*b - 0.287903316665065*c
subs(f1, 'a', 1)
[caracas]: 2 / 2\
b*x + c*sin\x / + 1.0*x
식으로 값 결정
위의 결과와 같이
subs() 함수에 의해서는 심벌 1개에 대한 값만을 입력할 수 있습니다. 위 식은 a, b, c, x 모두 심벌(기호)로서 동시에 값을 입력하기 위해서는 위 식을
expression으로 전환하여
eval() 함수를 사용합니다.
f1 %>% as_expr() %>% eval(list(a=1, b=3, c=2, x=4))
[1] 51.42419
subs() 함수에서 치환하기 위해 전달하는 인자값들의 계산이 치환 이전에 시행된다. 다음 함수 $f=exp(x^2)$에 대해 subs() 함수의 적용 예를 봅니다.
def_sym(x)
f<-exp(x^2)
subs(f, x, 1/3+1/4)
[caracas]: 1.40533790799144
subs(f, x, 7/12)
[caracas]: 1.40533790799144
N()함수를 사용하여 유효숫자를 지정합니다.
N(subs(f, x, 7/12), 2)
[caracas]: 1.4
여러개의 변수를 가진 식에 심벌들에 값을 전달하기 위해
as_expr()과
eval() 함수를 사용합니다.
g<-a*x^2+b*x+c
g
[caracas]: 2
a*x + b*x + c
g1<-as_expr(g); g1
expression(a*x^2 + b*x + c)
g2<-g %>% as_expr() %>% eval(list(a=2, b=3, c=1))
g2
[caracas]: 2
2*x + 3*x + 1
for (i in c(3, 5, 7, 9)) print(subs(g2, x, i))
[caracas]: 28.0000000000000
[caracas]: 66.0000000000000
[caracas]: 120.000000000000
[caracas]: 190.000000000000
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