미분방정식(Differential Equation)
미분방정식이란
미분 방정식은 미분을 포함하는 모든 방정식(상미분 또는 편미분)입니다. 모두가 알고 있는 미분 방정식이 하나 있는데, 바로 뉴턴의 운동 제2법칙입니다. 질량이 있는 물체의 경우 중 m은 가속도 a로 움직이고 있고 힘 F가 작용한다면 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같이 나타냅니다.미분(Ordinary differential) 및 편미분(Partial differential) 방정식
미분 방정식에 일반적인 미분항(상미분항)을 가지면 상미분 방정식이라고하며 ode로 축약됩니다. 마찬가지로, 미분 방정식에 편도함수가 있는 경우 미분방정식을 편미분방정식이라고 하며 pde로 축약됩니다. 위에서 소개한 뉴턴 법칙의 미분방정식은 상미분방정식입니다. 다음과 같이 편미분항이 존재할 경우 편미분 방정식(pde)이 됩니다.선형미분방정식(Linear Differential Equations)
일반적인 선형미분방정식은 다음과 같은 형태입니다.예)
x=symbols("x") y=x**(-3/2) dy=y.diff(x) ddy=y.diff(x, 2) dy
ddy
4*x**2*ddy+12*x*dy+3*y
0다음 코드는 sympy모듈을 사용하여 위 미분방정식의 해를 결정한 것입니다. 이 과정에서 symbols(), Eq(), dsolve()등의 함수를 사용합니다.
- 변수 정의(symbols(기호))
- 함수 정의 (symbols(기호, cls=Function)
- 미분방정식을 정의(Eq() 적용)
- 해 결정 (dsolve() 함수 적용): 미분 방정식의 해는
등과 같이 함수의 형태를 가집니다. 이 형태에서 우항만을 나타내기 위해서는 rhs 속성을 적용합니다.
x=symbols('x') f=symbols('f', cls=Function) y=f(x) eq=Eq(4*x**2*diff(y, x, 2)+12*x*diff(y, x)+3*y, 0) eq
sol=dsolve(eq, y); sol
sol.rhs
c1, c2=symbols('c1, c2') y=(c1+c2/x)/sqrt(x); y
eq1=Eq(y.subs(x,4), 1/8); eq1
eq2=Eq(diff(y, x).subs(x, 4), -3/64); eq2
solve((eq1, eq2))
{c1: 0.0, c2: 1.00000000000000}위 결과에 의하면
spec=dsolve(eq, y, ics={f(4):1/8, f(x).diff(x).subs(x, 4): -3/64});spec
y.subs(x, 4)
𝑓(4)초기조건을 고려하지 않은 경우 해를 특정할 수 없습니다. 이러한 일반적인 해의 형태를 일반해(general solution)이라고 합니다.
예)
2ty'+4y=3의 일반해는 다음과 같습니다. 초기조건 y(1)=-4인 경우의 특정해를 결정할 수 있습니다.
t=symbols('t') f=Function('f')(t) eq=Eq(2*t*f.diff(t)+4*f, 3);eq
sol=dsolve(eq, f); sol
C=symbols("C") y=C/t**2+3/4 C1=solve(y.subs(t, 1)+4, C);C1
[-4.75000000000000]위를 정리하면
dsolve(eq, f, ics={f.subs(t, 1):-4})
암시적/명시적 해(implicity/expliity solution)
t=symbols('t') y=Function('f')(t) eq=Eq(y.diff(t), t/y);eq
dsolve(eq, y, ics={y.subs(t, 2): -1})
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