[Linear Algebra] 벡터 사칙연산

벡터 사칙연산

벡터, 행렬 등 배열의 사칙연산은 동일한 형태의 객체 중에 동일한 인덱스를 가진 요소들 사이에서 이루어집니다. 다시 말하면, 동일한 인덱스가 존재할 경우에만 연산이 이루어집니다.

import numpy as np

a=np.array([10,15]) 
b=np.array([8,2]) 
c=np.array([1,2,3]) 
abSum=a+b
print(abSum)

[18 17]

abSub=a-b
print(abSub)

[ 2 13]

print(a-c)

 ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,) (3,) 

위 코드에서 객체 a와 c는 형태가 다르므로 연산이 이루어지지 않습니다. 벡터 a, b에 연관된 연산은 그림 1과 같이 나타낼 수 있습니다.

그림 1. 두 벡터의 덧셈과 뺄셈.

두 벡터의 덧셈 연산은 그들이 생성할 수 있는 평행사변형의 대각선에 대응하는 벡터와 같습니다. 뺄셈 역시 a + (-b)와 같이 b에 스칼라 -1을 곱한 결과로 덧셈 연산과 같습니다. 그러므로 그림 1에서 나타낸 것과 같이 뻴셈의 결과는 벡터 a와 벡터 -b와의 평행사변형의 대각선을 표현하는 벡터와 같습니다.

식 1에서 나타낸 것과 같이 벡터(또는 행렬) $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ 그리고 두 개의 스칼라인 a, b 사이에 연산 법칙을 정의될 수 있습니다.

\begin{align}\vec{u}+\vec{v}& = \vec{v}+\vec{u} \\ \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})& = (\vec{v}+\vec{u})+\vec{w}\\ \vec{v}+0 & = \vec{v} \\1\cdot \vec{v}& = \vec{v} \\ a\cdot(\vec{v}+\vec{u}) & = a\cdot\vec{v}+a\cdot\vec{u}\\ (a+b)\vec{v}& = a\vec{v}+b\vec{v}\end{align}

(식 1)

벡터들의 결합이 행렬이므로 행렬 연산은 벡터의 연산의 특성을 따릅니다.

예 1)

다음 세 행렬의 덧셈을 계산합니다.

$$A=\begin{bmatrix}2& 8\\4 & 9 \end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix}6 & 9 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \quad C=\begin{bmatrix} 2& 3& 4& 1\end{bmatrix}$$

C.shape
A=np.array([[2,8], [4,9]])
B=np.array([[6,9],[1,0]])
C=np.mat([[2,3,4,1]])
A.shape, B.shape, C.shape

((2, 2), (2, 2), (1, 4))

print(A+B)

[[ 8 17]
 [ 5  9]]

print(A+C)

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,2) (1,4) 

위 결과는 A, C 두 객체의 형태가 다르므로 에러가 발생되었음을 나타냅니다.