적분의 일반 규칙과 부정적분(Indefinite Integral)

내용

• 적분의 일반 규칙
  • 함수들의 합에 대한 적분
  • 함수의 상수항
• 특별한 함수의 적분
  • 특별한 함수의 적분공식
• 삼각함수의 적분
• 편적분

적분 규칙

적분의 일반 규칙

함수 y에 대한 미분은 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$를 계산하는 것입니다. 많은 수학적 계산과 같이 미분 과정 역시 역산될 수 있습니다. 예를 들어 ${\displaystyle y=x^4}$의 미분은 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=4x^3}$이 되며 그 과정을 반대로 실행하면 원 함수인 ${\displaystyle y=x^4}$이 되어야 합니다. 그러나 미분계수가 ${\displaystyle 4x^3}$이 되는 함수는 위에서 언급한 함수 외에 ${\displaystyle x^4+C}$와 같이 상수를 첨가된 다양한 함수의 미분 결과일 수 있습니다. 상수는 미분의 결과에 영향을 주지 않기 때문입니다. 이러한 점을 적분에 고려하여 미분의 역과정인 적분 결과에 상수 C를 더해 줍니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =x^{n-1}\\ \int n{x}^{n-1}dx& =x^n+C\\ & C:상수\end{array}$$

식 1과 같이 위의 관계에서 독립변수 x의 거듭제곱에 대한 미분과 적분의 일정한 관계가 성립됩니다.

적분일반규칙 $$\begin{array}{rl}\text{(1)}& \frac{dy}{dx}& =x^n\int n{x}^{n}dx& =\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C\\ & C:상수,n\ne -1\end{array}$$

적분 계산은 sympy의 integrate()함수를 적용합니다. 이 함수의 결과에는 상수가 고려되지 않습니다. 그러나 적분 결과로 대상인 함수에서의 상수의 존재 여부를 결정할 수 없기 때문에 상수가 존재한다고 간주해야 합니다. 그러므로 intergrate()함수에 의한 계산결과에 상수가 생략되어 있음을 주의해야 합니다.

import numpy as np 
from sympy import *

x, n=symbols("x, n")
y=x**n
inty=integrate(y, x)
inty

$\{\begin{array}{ll}\frac{x^{n+1}}{n+1}& \text{for}n\ne -1\\ \log \left(x\right)& \text{otherwise}\end{array}$

위 코드의 결과는 조건에 따라 다른 함수를 나타냅니다. 이러한 함수를 분기함수(Piecewise)라고 합니다.

미분과정에서 변수의 계수는 계산에 영향을 주지 않는 것과 마찬가지로 적분에서도 영향을 주지 않습니다. 다음 코드에서 변수를 정의할 때 n = -1을 피하기 위해 모든 변수가 양수인 조건을 설정하였습니다.

a, x, n=symbols("a, x, n", positive=True)
y=a*x**n
inty=integrate(y, x)
inty

$\frac{a{x}^{n+1}}{n+1}$

 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=4x^2}$의 적분을 계산해 봅니다.

$$\begin{array}{rl}\int dy& =\int 4x^{2}dx\\ & =\frac{4}{3}{x}^3+C\end{array}$$

x=symbols("x")
y=4*x**2
inty=integrate(y, x)
inty

$\frac{4x^3}{3}$

예)
  ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=a{x}^{12}}$의 적분?

$$\begin{array}{rl}\int dy& =\int a{x}^{12}dx\\ & =\frac{a}{13}{x}^{13}+C\end{array}$$

a, x=symbols("a, x")
y=a*x**12
inty=integrate(y, x)
inty

$\frac{a{x}^{13}}{13}$

함수들의 합에 대한 적분

다음 두 함수의 합에 대한 적분은 미분과 같이 함수 각각을 구분하여 실행할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =x^2+x^3\\ \int dy& =\int (x^2+x^3)dx\\ & =\int x^{2}dx+\int x^{3}dx\\ & \frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^4+C\end{array}$$

a, x=symbols("a, x")
y=x**2+x**3
inty=integrate(y, x)
inty

$\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}$

함수의 상수항

함수에 포함된 상수항은 다음과 나타낼 수 있습니다.

$$y=ax+b=ax+b{x}^0$$

그러므로 상수항 역시 다음과 같이 적분의 일반 규칙을 적용할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =x^n+b\\ \int dy& =\int (x^n+b)dx\\ & =\int x^{n}dx+\int bdx\\ & =\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+bx+C\end{array}$$

b, n, x=symbols("b, n, x", positive=True)
y=x**n+b
inty=integrate(y, x)
inty

$bx+\frac{x^{n+1}}{n+1}$

예)
  함수 ${\displaystyle 24x^{11}}$를 적분해 봅니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =24x^{11}\\ y& =\frac{24}{12}{x}^{12}\\ & =2x^{12}\end{array}$$

x=symbols("x")
y=24*x**11
inty=integrate(y, x)
inty

$2x^{12}$

예)
  ${\displaystyle \int (a+b)(x+1)dx}$?

위 식은 x에 관한 적분으로 a, b는 상수입니다. 그러므로 식은 ${\displaystyle (a+b)\int (x+1)dx}$와 같습니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =(a+b)(x+1)\\ y& =(a+b)\int (x+1)dx\\ & =(a+b)\int x^{1}dx+(a+b)\int 1x^{0}dx\\ & =(a+b)\frac{1}{2}{x}^2+(a+b)\frac{1}{1}{x}^1\end{array}$$

a, b, x=symbols("a, b, x")
y=(a+b)*(x+1)
inty=integrate(y, x)
int

$x^2(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})+x(a+b)$

예)
  ${\displaystyle \frac{du}{dt}=g\sqrt{t}}$의 적분?

$$\begin{array}{rl}\int du& =\int g{t}^{\frac{1}{2}}dt\\ & =\frac{2}{3}g{t}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$$

g, t=symbols("g, t")
dudt=g*sqrt(t)
u=integrate(dudt, t)
u

$\quad \color{navy}{\frac{2 g t^{\frac{3}{2}}}{3}$

예)
  ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=x^3-x^2+x}$의 적분?

$$\begin{array}{rl}\int dy& =\int (x^3-x^2+x)dx\\ & =\int x^{3}dx-\int x^{2}dx+\int xdx\\ & =\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+C\end{array}$$

x=symbols("x")
y=x**3-x**2+x
inty=integrate(y, x)
inty

$\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}$

예)
  ${\displaystyle \int 9.75x^{2.25}dx}$?

x=symbols("x")
y=9.75*x**2.25
inty=integrate(y, x)
inty

$3.0x^{3.25}$

예)
  ${\displaystyle \int (x+1)(x+2)dx}$?

$$\int (x2+3x+2)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+2x+C$$

x=symbols("x")
y=(x+1)*(x+2)
inty=integrate(y, x)
inty

$\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+2x$

위 예들은 적분의 일반 규칙에 의해 쉽게 계산될 수 있습니다. 그러나 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{a}{x}}$의 경우는 그 규칙을 적용할 수 없습니다.

어떤 함수를 미분한 결과가 ${\displaystyle \frac{1}{x}}$가 되는 경우는 그 함수가 상수인 경우에 해당합니다. 즉, 상수 a는 ${\displaystyle a{x}^0}$이므로 이 함수의 미분계수는 ${\displaystyle -a·0x^{0-1}}$이 되므로 결과는 0입니다. 결과적으로 ${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}$는 위의 규칙을 적용할 수 없습니다. 대신에 로그함수 ${\displaystyle y={\log }_{e}x}$의 미분인 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}}$를 역으로 적용할 수 있습니다. $$\begin{array}{rl}y& ={\log }_e{x}^a\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{a}{x}\\ \int dy& =\int a\frac{1}{x}dx\\ y& =a{\log }_{e}x+C\end{array}$$

특별한 함수의 적분

위 경우와 같이 적분은 미분의 반대 과정으로 일반적인 규칙의 적용이 어려운 경우는 미분에 의한 결과를 찾는 방법으로 적분을 실행할 수 있습니다. 이러한 방식으로 적용할 수 있는 몇 가지 적분 방법은 식 2와 같습니다.

특별한 함수의 적분공식 $$\begin{array}{rl}\text{(2)}& & \int \frac{1}{x}dx={\log }_{e}x+C& \int \frac{1}{x+a}dx={\log }_e(x+a)+C\\ & \int e^{x}dx=e^x+C\\ & \int e^{-x}dx=-e^{-x}+C\\ & \int \sin (x)dx=-\cos (x)+C\\ & \int \cos (x)dx=\sin (x)+C\end{array}$$

a, x=symbols("a, x")
integrate(x**(-1))

$\log \left(x\right)$

integrate(1/(x+a), x)

$\log (a+x)$

integrate(exp(x), x)

$e^x$

integrate(exp(-x), x)

$-e^{-x}$

integrate(sin(x), x)

$-\cos \left(x\right)$

integrate(cos(x), x)

$\sin \left(x\right)$

${\displaystyle y=x{\log }_{e}x-x}$의 미분은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& ={\log }_{e}x+\frac{x}{x}-1\\ & ={\log }_{e}x\end{array}$$

그러므로 이 함수의 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\int {\log }_{e}xdx& =x({\log }_{e}x-1)+C\\ \int {\log }_{10}xdx& =0.4343·x({\log }_{e}x-1)+C\\ \int a^{x}dx& =\hspace{0.5em}\frac{a^x}{{\log }_{e}a}+C\end{array}$$

sympy 모듈의 log(x, base)함수는 밑수(base)를 별도로 지정할 수 있지만 생략하면 기본값 e가 적용됩니다. 그러므로 log(x)는 자연로그를 의미합니다.

삼각함수의 적분

y=sin(ax)와 y=cos(ax)의 적분은 이 함수들의 미분 형태를 사용하여 식 3과 4와 같이 계산됩니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(3)}& y=\sin (ax)& =\int dy\frac{dy}{dx}=a·\cos (ax)& \to \int dy=a\int \cos (ax)dx=\sin (ax)\\ \int \cos (ax)dx& =\frac{1}{a}\sin (ax)+C\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\text{(4)}& y=\cos (ax)& =\int dy\frac{dy}{dx}=-a·\sin (ax)& \to \int dy=-a\int \sin (ax)dx=\cos (ax)\\ \int \sin (ax)dx& =-\frac{1}{a}\cos (ax)+C\end{array}$$

a, x=symbols("a, x")
integrate(cos(a*x), x)

$\{\begin{array}{ll}\frac{\sin \left(ax\right)}{a}& \text{for}a\ne 0\\ x& \text{otherwise}\end{array}$

integrate(sin(a*x), x)

$\{\begin{array}{ll}-\frac{\cos \left(ax\right)}{a}& \text{for}a\ne 0\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

삼각함수의 적분은 미분과 마찬가지로 삼각함수 공식을 적용하여 계산할 수 있습니다. 예를 들어 ${\displaystyle {\cos }^2(\theta )}$은 식 5와 같이 변형할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(5)}& & \begin{array}{rl}\cos (\theta +\theta )& ={\cos }^2(\theta )-{\sin }^2(\theta )\\ & ={\cos }^2(\theta )-(1-{\cos }^2(\theta ))\\ & =2{\cos }^2(\theta )-1\end{array}& \therefore {\cos }^2(\theta )=\frac{1}{2}(\cos (2\theta )+1)\end{array}$$

위 정리를 적용하여 함수 ${\displaystyle {\cos }^2(\theta )}$의 적분을 실행할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\int {\cos }^2(\theta )d\theta & =\frac{1}{2}\int (\cos (2\theta )+1)d\theta \\ & =\frac{1}{2}(\int \cos (2\theta )d\theta +\int 1d\theta )\\ & =\frac{\sin (2\theta )}{4}+\frac{\theta }{2}+C\end{array}$$

theta=symbols("theta")
y=cos(theta)**2
inty=integrate(y, theta)
inty

$\frac{\theta }{2}+\frac{\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)}{2}$

편적분

1개 이상의 독립변수를 가진 함수의 미분은 편미분을 실행합니다. 즉, 특정한 변수를 미분할 경우 다른 변수는 상수로 지정됩니다. 적분 역시 마찬가지 방법이 적용됩니다. 예를 들어 ${\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2}$을 적분할 경우 식 6과 같이 표현됩니다.

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \int \int x^2+y^{2}dxdy\end{array}$$

위 식에서 먼저 dx를 실행할 경우 변수 y는 상수로 고려되고 그 적분 결과를 y에 대해 적분을 실행됩니다. 물론 두 번째 과정에서 x는 상수로 고려됩니다.

$$\begin{array}{rl}\text{1 단계}& \\ & \int (x^2+y^2)dx=\frac{1}{3}{x}^3+y^{2}x\\ \text{2 단계}& \\ & \int (\frac{1}{3}{x}^3+y^{2}x)dy=\frac{1}{3}{x}^{3}y+\frac{1}{3}{y}^{3}x\end{array}$$

sympy의 integrate() 함수를 적용할 경우 적분할 변수를 순서적으로 지정함으로서 편적분을 실행할 수 있습니다. 다음은 먼저 x, 다음으로 y에 대해 적분하기 위한 코드입니다.

x, y=symbols("x, y")
f=x**2+y**2
intf=integrate(f, x, y)
intf

$\frac{x^{3}y}{3}+\frac{x{y}^3}{3}$

표면과 고체의 면적을 다루는 과정에서 길이와 폭이 모두 변수이면 다음과 같이 편적분이 필요합니다.

$$\int \int udxdy$$

여기서 u는 각 지점에서 x와 y에 따라 달라지는 속성입니다. 이를 표면 적분이라고 합니다. 그것은 u·dx·dy와 같은 모든 요소의 값 (즉, 작은 직사각형 길이 dx 및 폭 dy에 대한 u의 값)이 전체 길이와 전체 폭에 대해 합산되어야 함을 나타냅니다.

3 차원의 경우도 비슷합니다. 크기가 dx, dy, dz인 작은 입방체의 부피가 각 변수에 관계된 함수 f(x,y,z)로 표현된다면, 전체의 부피는 적분에 의해 계산될 수 있습니다.

$$\text{Volume}=\int \int \int f(x,y,z)dxdydz$$