삼각함수의 합, 차 그리고 곱에 대한 공식

내용

• 합과 차 공식
• 곱을 합으로 전환
• 합을 곱으로 전환
• 배각공식
• 반각공식

합과 차 공식

두 각에 대한 합 또는 차에 대해 식 1의 규칙이 성립합니다.

$$\begin{array}{rl}& \sin (\alpha \pm \beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )\pm \cos (\alpha )\sin (\beta )\\ \text{(식 1)}& & \cos (\alpha \pm \beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )\mp \sin (\alpha )\sin (\beta )& \tan (\alpha \mp \beta )=\frac{\tan (\alpha )\pm \tan (\beta )}{1\pm \tan (\alpha )\tan (\beta )}\end{array}$$

그림 1은 반지름 a인 원에 내접한 두 삼각형을 나타낸 것입니다.

그림 1. 반지름 a인 원에 내접한 두 삼각형.

그림 1의 원위의 점 A와 B는 각 α와 β에 대한 식 2와 같이 삼각함수로 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(식 2)}& \cos (\alpha )=\frac{x_1}{a}\sin (\alpha )=\frac{y_1}{a}& \Rightarrow A(a\cos (\alpha ),a\sin (\alpha ))\cos (\beta )=\frac{x_2}{a}\sin (\beta )=\frac{y_2}{a}& \Rightarrow B(a\cos (\beta ),a\sin (\beta ))\end{array}$$

그림 1의 원 내부에 존재하는 삼각형의 변 b의 길이를 계산하기 위해 cosine 2 법칙과 적용합니다(식 3).

$$\begin{array}{}\text{(식 3)}& b^2=a^2+a^2-a\cdot a·\cos (\alpha -\beta )=2a^2(1-\cos (\alpha -\beta ))\end{array}$$

그림 1의 좌표 A, B를 각각 $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$로 간주하고 두 벡터의 거리(norm) 즉 변 b는 식 4와 같이 계산할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\Vert AB\Vert & =(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2\\ b^2& =(a\cos (\alpha )-a\cos (\beta ){)}^2-(a\sin (\alpha )-a\sin (\beta ){)}^2\\ \text{(식 4)}& & =a^2({\cos }^2(\alpha )-2\cos (\alpha )\cos (\beta )+{\cos }^2(\beta )+{\sin }^2(\alpha )-2\sin (\alpha )\sin (\beta )+{\sin }^2(\beta ))& =a^2(2-2\cos (\alpha )\cos (\beta )-2\sin (\alpha )\sin (\beta ))\\ & =2a^2(1-\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta ))\\ & \because {\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1\end{array}$$

식 3과 4로부터 식 5를 유도할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(식 5)}& 1-\cos (\alpha -\beta )& =1-\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )\cos (\alpha -\beta )& =\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )\end{array}$$

식 5에서 각 β를 음의 값으로 전달하면 식 6과 같이 나타낼 수 있습니다. /p>

$$\begin{array}{rl}\cos (\alpha +\beta )& =\cos (\alpha -(-\beta ))\\ \text{(식 6)}& & =\cos (\alpha )\cos (-\beta )+\sin (\alpha )\sin (-\beta )& =\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )\\ \because \sin (-\alpha )& =-\sin (\alpha ),\cos (-\alpha )=\cos (\alpha )\end{array}$$

식 1을 사용하여 식 7을 계산할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=\cos (\theta )& \cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin (\theta )\\ \text{(식 7)}& \csc (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sec (\theta )& \sec (\frac{\pi }{2}-\theta )=\csc (\theta )\tan (\frac{\pi }{2}-\theta )=\cot (\theta )& \cot (\frac{\pi }{2}-\theta )=\tan (\theta )\end{array}$$

import numpy as np

x=np.pi/6
rightA= np.radians(90)
print(np.allclose(np.sin(rightA-x), np.cos(x)))
print(np.allclose(np.cos(rightA-x), np.sin(x)))

True
True

print(np.allclose(1/np.sin(rightA-x), 1/np.cos(x)))
print(np.allclose(1/np.cos(rightA-x), 1/np.sin(x)))

True
True

print(np.allclose(np.tan(rightA-x), 1/np.tan(x)))

True

예 1)

cos(80)과 동일한 값을 갖는 sin(x)?

식 7을 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

cos(80) = sin(90 - 80) = sin(10)

python에서 삼각함수의 계산은 radian 값을 인수로 전달하여야 합니다. 그러므로 80도를 radian으로 환산하기 위해 작성한 함수 np.radians()를 적용합니다.

x=np.radians(80)
y=np.radians(10)
print(np.allclose(np.cos(x), np.sin(y)))

True

식 1의 sin 함수에 대한 합차의 규칙은 식 7을 적용하여 유도할 수 있습니다(식 8).

$$\begin{array}{rl}\sin (\alpha +\beta )& =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha -\beta )=\cos ((\frac{\pi }{2}-\alpha )-\beta )\\ & =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )\cos (\beta )+\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )\sin (\beta )\\ \text{(식 8)}& & =\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )\sin (\alpha -\beta )& =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha +\beta )=\cos ((\frac{\pi }{2}-\alpha )+\beta )\\ & =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )\cos (\beta )-\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )\sin (\beta )\\ & =\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )\end{array}$$

식 1의 tan 함수에 대한 규칙은 sin과 cos 함수의 비로 식 9와 같이 유도 됩니다.

$$\begin{array}{rl}\tan (\alpha +\beta )& =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}\\ & =\frac{\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )}{\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )}\\ \text{(식 9)}& & =\frac{\tan (\alpha )+\tan (\beta )}{1-\tan (\alpha )\tan (\beta )}\tan (\alpha -\beta )& =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha -\beta )}\\ & =\frac{\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )}{\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )}\\ & =\frac{\tan (\alpha )-\tan (\beta )}{1+\tan (\alpha )\tan (\beta )}\end{array}$$

예 2)

sin(105°)와 tan(165°)를 합과 차 공식을 사용하여 계산합니다.

sin(105°) = sin(60°+45°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°)

a=np.radians(105)
b=np.radians(60)
c=np.radians(45)
A=np.sin(a)
A1=np.sin(b)*np.cos(c)+np.cos(b)*np.sin(c)
np.allclose(A, A1)

True

$$\begin{array}{rl}\tan (165)& =\tan (120+45)\\ & =\frac{\tan (120)+\tan (45)}{1-\tan (120)\tan (45)}\end{array}$$

a=np.radians(165)
b=np.radians(120)
c=np.radians(45)
A=np.tan(a)
A1=(np.tan(b)+np.tan(c))/(1-np.tan(b)*np.tan(c))
np.allclose(A, A1)

True

예 3)

다음 식이 성립합니까?

$$se{c}^2(\theta )+cs{c}^2(\theta )=se{c}^2(\theta )cs{c}^2(\theta )$$

$$\begin{array}{rl}{\sec }^2(\theta )+{\csc }^2(\theta )& =\frac{1}{{\cos }^2(\theta )}+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\\ & =\frac{{\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )}{{\sin }^2(\theta ){\cos }^2(\theta )}\\ & =\frac{1}{{\sin }^2(\theta ){\cos }^2(\theta )}\\ & =\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{1}{{\cos }^2(\theta )}\\ & ={\sec }^2(\theta ){\csc }^2(\theta )\end{array}$$

곱을 합으로 전환

식 10의 두 각에 대한 삼각함수의 곱은 식 1의 합차 공식을 적용하여 유도 할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\sin (\alpha )\sin (\beta )& =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]\\ \text{(식 10)}& \cos (\alpha )\cos (\beta )& =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )]\sin (\alpha )\cos (\beta )& =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha +\beta )]\\ \cos (\alpha )\sin (\beta )& =\frac{1}{2}[\sin (\alpha -\beta )-\sin (\alpha +\beta )]\end{array}$$

예를 들어 식 10의 두번째인 $\cos (\alpha )\cos (\beta )$는 식 11과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}& \cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )=\cos (\alpha +\beta )\\ \text{(식 11)}& +& \underset{―}{\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )=\cos (\alpha -\beta )}& 2\cos (\alpha )\cos (\beta )=\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\\ & \to \cos (\alpha )\cos (\beta )=\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]\end{array}$$

합을 곱으로 전환

특정한 두 삼각함수의 합과 차는 식 12와 같이 곱의 형태로 전환할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\sin (\alpha )+\sin (\beta )& =2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\\ \text{(식 12)}& \sin (\alpha )-\sin (\beta )& =2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos (\alpha )+\cos (\beta )& =2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\\ \cos (\alpha )-\cos (\beta )& =2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\end{array}$$

위의 식들 중에 sin(α)+sin(β)를 유도하면 다음과 같습니다.

α, β를 다음과 같이 변환하여 유도합니다.

\begin{align}\tag{식 13} α + β = A,&\quad α - β =B\ α=\frac{A+B}{2},&\quad β=\frac{A-B}{2}

위 값들을 식에 대입하여 합의 공식을 적용하여 정리합니다.

$$\begin{array}{rl}& \sin \left(\frac{A+B}{2}\right)=\sin \left(\frac{A}{2}\right)\cos \left(\frac{B}{2}\right)+\cos \left(\frac{A}{2}\right)\sin \left(\frac{B}{2}\right)\\ \text{(식 14)}& & +\underset{―}{\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)=\sin \left(\frac{A}{2}\right)\cos \left(\frac{B}{2}\right)-\cos \left(\frac{A}{2}\right)\sin \left(\frac{B}{2}\right)}& \sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)=2\sin \left(\frac{A}{2}\right)\cos \left(\frac{B}{2}\right)\end{array}$$

배각공식

각이 두 배가 되는 경우 역시 식 1의 합차 공식을 적용하여 계산할 수 있습니다(식 15).

$$\begin{array}{rl}\text{(9)}& \sin (2\theta )& =\sin (\theta +\theta )& =\sin (\theta )\cos (\theta )+\cos (\theta )\sin (\theta )\\ & =2\sin (\theta )\cos (\theta )\\ \text{(식 15)}& \cos (2\theta )& =\cos (\theta +\theta )& =\cos (\theta )\cos (\theta )-\sin (\theta )\sin (\theta )\\ & ={\cos }^2(\theta )-{\sin }^2(\theta )\\ & =2{\cos }^2(\theta )-1\\ & =1-2{\sin }^2(\theta )\\ \tan (2\theta )& =\tan (\theta +\theta )\\ & =\frac{2\tan (\theta )}{1-{\tan }^2(\theta )}\end{array}$$

예)

다음 삼각함수의 해?

$$\cos (2\theta )=2-3\sin (\theta ),0\le \theta \le 2\pi$$

$$\begin{array}{rl}& 1-2{\sin }^2(\theta )=2-3\sin (\theta )\\ & \begin{array}{rl}\to 2{\sin }^2(\theta )-3\sin (\theta )+1& =(2\sin (\theta )-1)(\sin (\theta )-1)\\ & =0\end{array}\end{array}$$

t=symbols('t')
solve(2*sin(t)**2-3*sin(t)+1, t)

[pi/6, pi/2, 5*pi/6]

반각공식

식 16은 특정한 각의 반각에 대한 공식입니다.

$$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1-\cos (\theta )}{2}\\ \text{(식 16)}& & {\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1+\cos (\theta )}{2}& {\tan }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1-\cos (\theta )}{1+\cos (\theta )}\end{array}$$

식 16의 첫번째 형태를 유도하기 위해 식 15의 cos(2θ)를 적용합니다(식 17).

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\cos (2\theta )& =2{\cos }^2(\theta )-1\\ & =1-2{\sin }^2(\theta )\end{array}\\ \text{(식 17)}& \to \sin (\theta )& =\pm \sqrt{\frac{1-\cos (2\theta )}{2}}\to \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)& =\pm \sqrt{\frac{1-\cos (\theta )}{2}}\end{array}$$$$

t=pi/3
sin(t/2)**2

$\frac{1}{4}$

(1-cos(t))/2

$\frac{1}{4}$