기본 콘텐츠로 건너뛰기

[Linear Algebra] 직교적 투영(Orthogonal Projection)

[data analysis] 분산분석 (Analysis of variance)의 개요

분산분석 (Analysis of variance)의 개요

관련된 내용

두 개이상 여러 집단의 비교는 각 그룹의 분포를 비교하는 것과 같습니다. 분포의 비교는 평균이나 분산 등을 기준으로 평가할 수 있습니다. z 검정 또는 t 검정이 평균을 비교 대상으로 한 것과 같이 그 대상을 각 분포의 분산으로 지정할 수 있습니다. 이 경우 사용하는 방법론을 분산 분석(ANOVA)이라고 합니다. 예를 들어 두 개 이상의 집단에서 각 집단내의 변동과 집단간 변동을 비교하여 모든 집단의 평균이 동일하다는 귀무가설을 검정하는 통계방법입니다. 두 개 집단의 가설검정을 위해 정규분포 또는 t 분포를 적용하였지만 그 이상의 집단을 비교하기 위해서는 집단 간의 변동성의 정도를 비교하는 F분포를 사용합니다.

분산분석을 위한 자료는 비교 대상이 되는 명목변수인 요인변수 (factor, 설명변수)와 각 요인에 따른 값들 즉, 반응변수(respond variable, 종속변수)로 구성됩니다. 각 요인은 몇 개의 소집단으로 분류될 수 있으며 이 소집단의 요인들을 처리 (treatment, 요인수준)라고 합니다. 요인 수준에 대응하는 반응변수가 한 개인 경우의 분석을 일원분산분석 (one-way anova)라고 하며 여러 개인 경우를 다변량분산분석 (manova)라고 합니다.

표 1은 한개의 요인에 따른 분리된 실험군에 대한 두 개의 처리효과를 포함합니다. 이 경우 각 처리에 대한 관측치 수는 같으므로 균형 설계(balanced design)라고 하며 표본 크기가 설계의 셀 전체에서 같지 않으면 불균형 설계(unbalanced design)라고 합니다.

표 1 그룹 간 일원 분산 분석
treatment(factor)
group1group2
s1 s6
s2 s7
s3 s8
s4 s9
s5 s10

표 1의 통계적 설계는 단일 분류 변수가 있기 때문에 일원 분산 분석(one-way ANOVA)이라고 합니다. 특히, 그룹 간 일원 분산 분석입니다. 또한 표 2와 같이 같은 그룹내에서 한 변수에 대한 다른 두 효과들을 검정할 수 있습니다.

표 2 One-way within-groups ANOVA
group1Time(factor)
5 weeks 6 months
s1
s2
s3
⋮

표 2의 경우 독립변수인 factor는 시간으로 정의된 시간이 수준이 됩니다. 즉, 동일한 그룹에서 두 수준이 측정되었으므로 그룹 내 요인이라고 합니다. 이러한 통계 디자인을 그룹내 일원분산분석(one-way within-groups ANOVA)라고 합니다.

표 3에 group2에 같은 실험 실시한 결과를 첨가한다면 그룹간과 그룹내의 효과에 대한 분석을 실시할 수 있습니다. 이 경우 요인 2개에 대한 각각의 처리의 효과에 대한 비교를 실시할 수 있습니다. 이 경우 treatment과 Time의 효과와 두 요인의 상호작용을 조사할 수 있습니다. 각 요인의 효과를 주효과(main effect), 상호작용에 의한 효과를 교호효과(interaction effect)라고 합니다.

표 6.1.3 Two-way factorial ANOVA with one between-groups and one within-groups factor
groupTime(factor2)
5 weeks 6 months
treatment
(factor2)		trt1s1
s2
s3
s4
s5
trt2s6
s7
s8
s9
s10

표 3과 같이 두 개 이상의 요인을 교차하면 요인 ANOVA(factoral ANOVA) 설계가 됩니다. 두 요인을 교차하면 2원 ANOVA가 생성되고, 3개 요인을 교차하면 3원 ANOVA가 생성되는 식입니다. 요인 설계에 그룹간 요인과 그룹내 요인이 모두 포함되는 경우 혼합 모형 ANOVA(mixed-model ANOVA)라고도 합니다. 이 경우 세 가지 F 테스트가 있습니다. 각각 Tremtment, Time, 그리고 Treatment x Time 상호 작용에 대한 세가지 F 검정이 요구됩니다.

위 디자인의 대상인 treatment, time에 영향을 미칠 수 있는 잠재적 조건들이 존재할 수 있습니다. 이러한 변수를 교란 요인(confounding factor)라고 합니다. 교란요인에 의한 변량을 공분산(covariance)이라고 하고 그 효과를 분석하는 설계를 공분산 분석(ANCOVA)이라고 합니다.

위 설계는 각 처리에 대한 반응 변수는 하나입니다. 반응변수가 두개 이상인 경우를 다변량 분산 분석(MANOVA)이라고 합니다. 공변량이 있으면 다변량 공분산 분석(MANCOVA)이라고 합니다.

라벨:

이 블로그의 인기 게시물

유사변환과 대각화

내용 유사변환 유사행렬의 특성 대각화(Diagonalization) 유사변환(Similarity transformation) 유사변환 n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사하다고 하며 이 변환을 유사 변환 (similarity transformation)이라고 합니다. $$\begin{equation}\tag{1} A = PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP = B \end{equation}$$ 식 1의 유사 변환은 다음과 같이 고유값을 적용하여 특성 방정식 형태로 정리할 수 있습니다. $$\begin{align} B - \lambda I &= P^{-1}AP – \lambda P^{-1}P\\ &= P^{-1}(AP – \lambda P)\\ &= P^{-1}(A - \lambda I)P \end{align}$$ 위 식의 행렬식은 다음과 같이 정리됩니다. $$\begin{align} &\begin{aligned}\textsf{det}(B - \lambda I ) & = \textsf{det}(P^{-1}(AP – \lambda P))\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}((A – \lambda I)) \textsf{det}(P)\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) \textsf{det}((A – \lambda I))\\ &= \textsf{det}(A – \lambda I)\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\because \; \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) &= \textsf{det}(P^{-1}P)\\ &= \t
자세한 내용 보기

[matplotlib] 히스토그램(Histogram)

히스토그램(Histogram) 히스토그램은 확률분포의 그래픽적인 표현이며 막대그래프의 종류입니다. 이 그래프가 확률분포와 관계가 있으므로 통계적 요소를 나타내기 위해 많이 사용됩니다. plt.hist(X, bins=10)함수를 사용합니다. x=np.random.randn(1000) plt.hist(x, 10) plt.show() 위 그래프의 y축은 각 구간에 해당하는 갯수이다. 빈도수 대신 확률밀도를 나타내기 위해서는 위 함수의 매개변수 normed=True로 조정하여 나타낼 수 있다. 또한 매개변수 bins의 인수를 숫자로 전달할 수 있지만 리스트 객체로 지정할 수 있다. 막대그래프의 경우와 마찬가지로 각 막대의 폭은 매개변수 width에 의해 조정된다. y=np.linspace(min(x)-1, max(x)+1, 10) y array([-4.48810153, -3.54351935, -2.59893717, -1.65435499, -0.70977282, 0.23480936, 1.17939154, 2.12397372, 3.0685559 , 4.01313807]) plt.hist(x, y, normed=True) plt.show()
자세한 내용 보기

R 미분과 적분

내용 expression 미분 2차 미분 mosaic를 사용한 미분 적분 미분과 적분 R에서의 미분과 적분 함수는 expression()함수에 의해 생성된 표현식을 대상으로 합니다. expression expression(문자, 또는 식) 이 표현식의 평가는 eval() 함수에 의해 실행됩니다. > ex1<-expression(1+0:9) > ex1 expression(1 + 0:9) > eval(ex1) [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > ex2<-expression(u, 2, u+0:9) > ex2 expression(u, 2, u + 0:9) > ex2[1] expression(u) > ex2[2] expression(2) > ex2[3] expression(u + 0:9) > u<-0.9 > eval(ex2[3]) [1] 0.9 1.9 2.9 3.9 4.9 5.9 6.9 7.9 8.9 9.9 미분 D(표현식, 미분 변수) 함수로 미분을 실행합니다. 이 함수의 표현식은 expression() 함수로 생성된 객체이며 미분 변수는 다음 식의 분모의 변수를 의미합니다. $$\frac{d}{d \text{변수}}\text{표현식}$$ 이 함수는 어떤 함수의 미분의 결과를 표현식으로 반환합니다. > D(expression(2*x^3), "x") 2 * (3 * x^2) > eq<-expression(log(x)) > eq expression(log(x)) > D(eq, "x") 1/x > eq2<-expression(a/(1+b*exp(-d*x))); eq2 expression(a/(1 + b * exp(-d * x))) > D(eq2, "x") a * (b * (exp(-d * x) * d))/(1 + b
자세한 내용 보기