고계도 미분

내용

• 고계도 미분
• 고계도미분의 적용

고계도 미분

고계도 함수(higher order function)를 함수를 여러 번 미분하는 것을 고계도 미분이라고 합니다. 함수 $y=x^5$를 여러 번 미분해 봅니다.

[첫번째 미분]

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=5x^4}$

[두번째 미분]

${\displaystyle y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=5\cdot 4x^3=20x^3}$

[세번째 미분]

${\displaystyle y^{‴}=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=5\cdot 4\cdot 3x^2=60x^2}$

[네번째 미분]

${\displaystyle y^{(4)}=\frac{d^{4}y}{d{x}^4}=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2x^3=120x}$

[다섯번째 미분]

${\displaystyle y^{(5)}=\frac{d^{5}y}{d{x}^5}=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2x^3=120}$

[여섯째 미분]

${\displaystyle y^{(6)}=\frac{d^{6}y}{d{x}^6}=0}$

위의 식 y = x⁵는 독립변수 x에 대한 종속변수 y의 함수입니다. 일반적으로 함수는 φ(), f() 등으로 나타냅니다. 그러므로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$f(x)=x^n$$

x에 관한 y의 미분을 나타내는 $\frac{dy}{dx}$는 f′(x)와 같이 나타낼 수 있습니다. 위의 표에서 나타낸 다중의 미분의 표현 역시 f()를 사용하여 나타낼 수 있습니다.(식 1)

$$\begin{array}{rl}\text{(1)}& & \frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}& \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f^{\prime }(x)=n(n-1)x^{n-2}\\ & \frac{dy}{dx}\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)=\frac{d^3}{d{x}^3}=f^{‴}(x)=n(n-1)(n-2)x^{n-3}\\ & ⋮\end{array}$$

4차 미분 이상에서는 함수 기호 f의 위첨자에 `(숫자)'를 첨가하는 형태로 나타냅니다.

import numpy as np
import pandas as pd
from sympy import *

예 1)
 다음 함수에 대해 최종 미분 값이 0이 될 때까지 고계도 미분을 계산해 봅시다.

$$y=7x^4+\frac{7x^3}{2}-\frac{x^2}{2}+x-2$$

x=symbols("x")
f=7*x**4+Rational('7/2')*x**3-Rational('1/2')*x**2+x-2
f

$7x^4+\frac{7x^3}{2}-\frac{x^2}{2}+x-2$

d1f=f.diff(x)
d1f

$28x^3+\frac{21x^2}{2}-x+1$

d2f=f.diff(x, 2)
d2f

$84x^2+21x-1$

d3f=f.diff(x, 3)
d3f

$21(8x+1)$

d4f=f.diff(x, 4)
d4f

$168$

d5f=f.diff(x, 5)
d5f

$0$

고계도미분의 적용

시간이 독립 변수로 작용하는 문제들은 미적분이 적용되는 중요한 분야로 예를 들어 시간이 변할 때 변하는 어떠한 양에 대한 값을 찾는 문제를 고려할 수 있습니다. 어떤 양은 시간에 따라 증가하지만 감소하는 양도 존재합니다. 기차는 시간에 따라 출발지에서 멀어지지만 도착 지점에는 가까워지는 예를 생각할 수 있지요.

시간과 관계된 경우에서 비율(rate)은 어떤 일이 일어나는 시간의 길이 당 일어나는 일의 양에 대한 비를 의미합니다. 예를 들어 초당 1m를 이동하는 것은 분당 60m를 이동하는 것과 같지만 초와 분이 같지는 않습니다. 이러한 비율을 속도라고 하는데 두 속도가 같다는 것은 통과한 거리에 대한 소요되는 시간의 비율이 동일하다는 것을 의미합니다.

다른 예로 어떤 사람이 초당 10원을 사용한다고 하면 분당 600원 시간 당 36000원 그리고 하루에 864000을 사용할 수 있다고 할수 있습니다. 이 비율을 미분으로 나타내 볼 수 있습니다. 소비하는 돈을 y, 시간을 t라고 하면 매우 짧은 시간 당 소비하는 돈의 비율은 $\frac{dy}{dt}$이며 이것은 소비하는 사람에게서 감소하는 것이므로 $-\frac{dy}{dt}$로 나타낼 수 있습니다. 그러나 돈의 사용은 연속적이 될 수 없기 때문에 미분으로 나타내기에 좋은 예가 아닙니다. 보다 적합한 예로 일정한 거리를 움직이는 기차의 속도를 고려할 수 있습니다.

400km를 가는데 4시간이 걸리는 기차의 속도는 $\frac{400km}{4hr}=100\frac{km}{hr}$으로 평균 속도는 100km/hr의 비율로 나타낼 수 있습니다. 실제로 기차는 출발 시점이나 도착 시점의 속도는 느릴 것이며 중간 어느 부분에서는 이 평균 속도 보다 클 것입니다. 그러므로 위에서 계산한 평균 속도는 측정 시간 간격이 작아질수록 속도 변화를 보다 정확히 나타낼 수 있습니다. 수학적으로 나타내는 미분 $\frac{dy}{dt}$는 아주 작은 시간 간격에 작은 거리를 다루며 다음과 같이 나타냅니다.

$$v=\frac{dy}{dt}$$

속도가 일정하지 않고 증가하거나 감소할 경우를 가속도(a)라고 하며 속도에 대한 비율로서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{dy}{dt}\\ a& =\frac{dv}{dt}\\ & =\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)\\ & =\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\end{array}$$

즉, 가속도는 시간에 대한 거리의 두 번째 미분 계수로서 $\frac{\text{distance}}{{\text{time}}^2}$의 단위를 갖습니다. 기차가 출발하기 위해 움직일 경우 v는 매우 작을 것이지만 그 속도는 계속 증가할 것입니다. 그러므로 가속도 $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$는 양(positive)의 값이 될 것입니다. 기차가 정차 또는 도착 시 가속도는 0이 될 때까지 감소할 것입니다. 즉, 음(negative)의 값을 가질 것입니다.

다른 예로 어떠한 물체에 가해지는 힘은 그 물체의 질량에 가속도를 곱하는 것으로 계산됩니다. 즉, 질량을 가속하는 데 필요한 힘은 질량에 비례하며 전달되는 가속도에도 비례합니다. 따라서 힘(f)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}f& =ma\\ & =m\frac{dv}{dt}\\ & =m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\end{array}$$

위 식에서 v는 속도, y는 이동 거리를 나타냅니다.

이동 속도에 의한 질량의 곱을 운동량(momentum)이라 하며 질량과 속도의 곱 (mv)으로 계산됩니다. 시간에 대해 운동량을 미분은 즉, 운동량 변화율은 $\frac{d(mv)}{dt}$를 얻을 수 있습니다. 질량은 상수이므로 힘 f는 위의 식과 같이 $m\frac{dv}{dt}$이 됩니다. 결과적으로 힘은 질량과 가속도의 곱 또는 운동량의 변화량으로 나타낼 수 있습니다.

어떠한 물체에 힘이 가해지고 움직인다면 그 물체에 투여되는 일(work, w)의 양을 계산할 수 있습니다. 그 물체가 움직이는 거리를 y라 한다면 일(w)은 다음과 같이 계산됩니다.

$$w=f\cdot y$$

위 식에서 f를 상수로 고려하면 일 w에 관계된 인수는 y로서 이동 거리의 차이로 일의 변화를 계산할 수 있습니다. dw=f⋅dy 이 식을 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}dw& =f\cdot dy\\ & =ma\cdot dy\\ & =m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}dy\\ & =m\frac{dv}{dt}dy\\ \frac{dw}{dy}& =f\end{array}$$

위 식으로부터 어떤 방향으로든 변위를 생성하는 데 사용되는 경우 힘(해당 방향으로)은 해당 방향의 단위 길이 당 작업이 수행되는 일과 같습니다. 이것은 시간의 의미가 아닌 비율입니다.

위에서 설명한 시간에 따른 함수에 대한 고차 미분과 비율에 대한 몇 가지 예들을 살펴보겠습니다.

예 2)
  다음 식은 특정 지점 O에서 물체의 이동 거리와 시간의 관계식입니다. 이 식에서 t는 특정 순간 이후 경과 된 시간 (초)입니다.

$$x=0.2t^2+10.4$$

5 초 후의 속도와 가속도를 찾고, 주행 거리가 100m 일 때 해당 값을 찾습니다. 또한 처음 10 초 동안 평균 속도를 계산합니다.

t=symbols('t', positive=True)
x=0.2*t**2+10.4
#속도 (dx/dt)
v=diff(x, t)
v

0.4t

a=diff(v, t)

N(a, 2)

0.4

#t=5에서의 속도 
v_5=v.subs(t, 5)
N(v_5, 2)

2.0

#x=100m 이동에 걸린 시간과 속도 
t_100m=solve(x-100, t)
round(t_100m[0], 3)

21.166

N(v.subs(t, t_100m[0]), 3)

8.47

#10초동안 평균거리
x_10=x.subs(t, 10)-10.4
N(x_10, 3)

20.0

#그 거리에서 평균속도
#최초 v=0일 때의 시간을 고려하면 t=0
#t=0에서의 거리는 10.4이므로 다음과 같이 계산 
v_mean=x_10/10
N(v_mean, 2)

2.0

예 3)
 관계식이 다음과 같을 경우 예제 2를을 다시 계산합니다.

$$x=0.2t^2+3t+10.4$$

t=symbols('t')
x=0.2*t**2+3*t+10.4
#속도(시간에 따른 변수) 
v=diff(x, t)
v

0.4t+3

#가속도 
a=diff(v, t)
N(a, 2)

0.4

#t=0, v0
v0=v.subs(t, 0)
v0

3

위 결과에 의하면 시간은 특정 지점 O로부터 10.4m가 떨어진 지점을 통과한 순간부터 계산되며 그 시점에서의 속도는 이미 3 m/sec입니다. 움직인 이후에 경과한 시간은 다음과 같습니다.

#v=0
t_start=solve(v, t)
round(t_start[0], 3)

−7.5

즉, 움직이기 전에 이미 7.5초가 지나간 것입니다. 그러므로 특정 순간이 5초라는 것은 움직이기 전 2.5초라는 것을 의미합니다.

#t=5
v5=v.subs(t, -2.5)
N(v5, 3)

2.0

x = 100m일 때의 시간과 속도는 다음과 같습니다.

t_x100=[i for i in solve(Eq(x, 100), t) if i>0]
round(t_x100[0], 3)

14.956

N(v.subs(t, t_x100[0]), 3)

8.98

최초 10초 동안 이동한 거리는 움직임이 시작될 때의 위치와 시간을 고려해야 합니다. 움직임이 시작된 시점은 이미 7.5초가 지난 상태이므로 나머지 그 시간의 이동 거리와 2.5초 동안의 거리를 따로 계산합니다.

#t=-7.5
x7_5=x.subs(t, -7.5)
N(x7_5, 3)

−0.85

#t=2.5
x2_5=x.subs(t, 2.5)
N(x2_5, 4)

19.15

위 결과 -0.850는 역방향에서의 위치이므로 총 이동 거리는 두 값의 차이입니다.

total=x2_5-x7_5
round(total, 2)

20.0

v_aver=total/10
round(v_aver, 2)

2.0

예 4)
  위치 $x=0.2t^3-3t^2+10.4$에서 속도와 가속도는 각각 $v=0.6t^2-6t,a=1.2t-6$이므로 가속도는 상수가 아닙니다. t = 0에서 v, a를 계산합니다.

t=symbols('t')
x=0.2*t**3-3*t**2+10.4
v=diff(x, t)
v

0.6t2−6t

a=diff(v, t)
N(a, 2)

1.2t−6.0

v_t0=v.subs(t, 0)
v_t0

0

a_t0=a.subs(t, 0)
a_t0

−6

정지되어 있지만 음의 가속도로 움직일 준비가되어 있습니다. 즉, 점 O를 향한 속도를 얻습니다.