[data analysis] 독립사건(independent event)

독립사건(independent event)

관련내용

• 확률(probability)

교집합이 공집합인 사건들은 독립사건(independent event) 또는 상호 배타적 결과들(disjoint or mutually exclusive outcomes)이 됩니다. 예를 들어 하나의 주사위를 시행하는 경우 주사위 눈의 갯수 1과 2가 동시에 일어날 수 없으므로 독립 사건이 됩니다. 한편 1과 홀수가 나올 확률은 1이 이미 홀수이므로 동시에 발생할 수 있습니다. 그러므로 이 사건은 상호 배타적 결과들이 아닙니다.

독립사건은 다른 사건들 사이에 영향을 줄 수 없기 때문에 여러 독립 사건들의 합은 각 사건의 합으로 결정할 수 있습니다. 예를 들어 1개의 주사위 시행에서 1 또는 2가 나올 사건의 확률은 독립이므로 각각의 확률의 합이 됩니다(식 1).

\begin{align}P(X=1\;\text{or}\;2)&=P(X=1)+P(X+2)\\&=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\\&=\frac{1}{3} \end{align}

(식 1)

위와 달리 어떤 사건이 동시에 일어날 수 있는 사건이 존재하는 경우 즉, 사건 A, B가 독립사건이 아닌 경우는 두 사건에서 공통으로 일어나는 경우는 제외되어야 합니다. 예를 들어 주사위 시행에서 1 또는 홀수가 나올수 있는 확률에서 홀수 사건 중에 1이 이미 포함되어 있습니다. 그러므로 식 2와 같이 1이 나올 확률을 제외하여야 합니다.

\begin{align}P(X=1)=\frac{1}{6}&\quad P(X=\text{홀수})=\frac{1}{2}\\P(X=1\;\text{or}\;X=\text{홀수})&=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\\&=\frac{1}{2} \end{align}

(식 2)

case=range(1, 7)
n=0
for i in case:
    if (i==1) or (i %2 ==1):
        n +=1
n

3

prob=n/len(case); prob 

0.5

[합사건(Union)]

• 두 독립사건 E₁, E₂이라면 이 둘이 발생할 확률은 식 3과 같이 단순히 두 확률의 합으로 계산됩니다.

  • P(E1 or E2)	=   P(E1 ∪ E2)	(식 3)
    	=   P(E1) + P(E2)

• 식 3의 확장으로 2개 이상의 독립사건들에 대한 모든 확률은 식 4와 같이 계산됩니다.

  • P(E1 ∪ E2 ∪ … ∪ En)	(식 4)
    =   P(E1) + P(E2) + … + P(En)

• 독립이 아닌 두 사건 A₁, A₂의 합은 식 5과 같이 계산됩니다.

  • P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) − P(A1 ∩ A2)

    (식 5)

• 식 5의 확장으로 두개 이상의 비독립 사건들의 합사건은 식 6과 같이 사건들 사이에 공통적인 부분들을 고려해야 됩니다.

  • P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)	(식 6)
    = P(A1) + P(A2) + … + P(An)
    − P(A1 ∩ A2) − P(A2 ∩ A3) − … − P(An-1∩ An)
    + P(A1 ∩ A2 … An)

확률과 통계학에서 or은 합집합, and는 교집합을 의미합니다.

예 1)

1 ~ 9의 숫자가 적힌 9개의 공이 담긴 백에서 한 개의 공을 추출할 경우 꺼낸 공의 숫자가 2의 배수이거나 6의 배수일 확률을 결정합니다.

\begin{align}P(\text{2의 배수})=\frac{4}{9}&\quad P(\text{6의 배수})=\frac{1}{9} \\ P(\text{2의 배수} \;\cap\; \text{6의 배수}))&=\frac{1}{9}\\ P(\text{2의 배수} \;\cup\; \text{6의 배수}))&=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}=\frac{4}{9}\end{align}

case=range(1, 10)
n=0
for i in case:
    if (i %2 == 0) or (i % 6 ==0):
        n +=1
n

4

prob=n/len(case)
round(prob, 3)

0.444

$\frac{4}{9}$는 무한 소수입니다. 이를 소수점 3자리에서 반올림한 것이 위의 결과입니다.이 결과는 분수로 표시하기 위해 sympy 패키지의 Rational() 함수를 사용할 수 있습니다.

• sympy.Rational(a, b)
  • 분수를 반환(a/b)

prob=Rational(n, len(case)); prob

$\frac{4}{9}$

예 2)

학생 220명을 대상으로 두 종류(A, B)의 백신을 접종 현황을 조사합니다. 조사결과는 다음과 같습니다.

$$P(A)=\frac{2}{5}\quad P(B)=\frac{1}{3}\quad P(A\;\cap\;B)=\frac{1}{6}$$

위 결과를 근거로 A 또는 B를 접종한 인원을 결정합시다.

식 5를 적용하여 계산합니다(식 7).

$$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{17}{30}$$

(식 7)

Pa, Pb=2/5, 1/3
Pab=1/6
Pa_b=Pa+Pb-Pab
round(Pa_b, 3)

0.567

round(17/30, 3)

0.567