부분분수_sympy

내용

• var와 symbols
• 분수 표현
• 부분분수 분해
• 행렬의 적용

부분분수

var와 symbols

symbols(기호(문자), **args)

• 지정된 기호 또는 문자를 sympy객체내에서 변수로 지정.
• 별도의 객체화가 필요

var(기호(문자), **args)

• 지정된 기호 또는 문자를 sympy객체내에서 변수로 지정.
• sympy 내에서 var()함수의 결과가 전역변수가 되므로 별도의 객체화가 불필요

두 함수 모두 real=True와 같은 변수에 대한 조건을 부여할 수 있음

var('x')

x

위의 경우 x는 기호로 적용되지만 symbols()를 사용할 경우 다음과 같이 객체로 저장해야 합니다.

x=symbols("x"); x

x

var('a,ab,abc')

(a, ab, abc)

abc

abc

type(abc)

sympy.core.symbol.Symbol

real=True인자를 사용하여 기호의 범위를 한정할 수 있습니다.

var('x,y', real=True)

(x, y)

x.is_real and y.is_real

True

분수 표현

다음과 같은 분수를 나타내기 위해 다음 함수를 사용합니다.

• Rational(numer, denom) or Rational(유리수): 인수가 number일 경우 적용
• 분자, 분모가 함수일 경우는 f/g로 나타냄
• numer(분수식): 분수의 분자항을 반환
• denom(분수식): 분수의 분모항을 반환

x=symbols('x')
f=5*x**2+10*x+3
g=2*x+2
eq=f/g; eq

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{5 x^{2} + 10 x + 3}{2 x + 2}}$

numer(eq)

$\quad\color{navy}{\scriptstyle 5 x^{2} + 10 x + 3}$

denom(eq)

$\quad\color{navy}{\scriptstyle 2 x + 2}$

부분분수 분해

$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$ 위 함수에서 p, q는 서로소(coprime)이고 분자의 차수가 분모의 차수보다 작은 경우 부분분수로 분해할 수 있습니다.
deg(p)<deg(q)
만약 p, q가 서로 소가 아니라면 cancel() 함수를 적용하여 분모와 분자의 공약수를 제거할 수 있습니다. 또한 deg(p) ≥deg(q) 이라면 div()를 사용하여 f(x)의 다항식의 부분을 추출하여 p의 차수를 감소시킬 수 있습니다.
부분분수는 분모를 인수분해한 결과를 기준으로 나눌 수 있으며 분자는 인수분해된 각 결과보다 한 차수 낮게 설정합니다. 예를들어 $$\begin{aligned}&\frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+ \cdots +\frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}\\& k=1, 2, \cdots \end{aligned}$$

• div(f, g) : $f(x) \div g(x)$를 실행하여 몫과 나머지를 반환합니다.
• factor(함수): 함수를 인수분해합니다.
• cancel(유리함수): 분자와 분모의 공통인수를 약분합니다.
• apart(유리함수): 유리함수를 부분분수로 분해 합니다.

x=symbols('x')
f=5*x**2+10*x+3
g=2*x+2
q,r=div(f, g)
q, r

(5*x/2 + 5/2, -2)

위의 결과로 부터 다음과 나타낼 수 있습니다. $$\frac{f}{g}=\frac{5x+5}{2}-\frac{2}{2x+2}=\frac{5x+5}{2}-\frac{1}{x+1}$$ 결과적으로 유리함수를 부분분수로 분해한 것입니다. 이러한 과정은 apart(함수)에 의해 직접적으로 실행됩니다.

f/g

(5*x**2 + 10*x + 3)/(2*x + 2)

f1=f/g;f1

(5*x**2 + 10*x + 3)/(2*x + 2)

apart(f1)

5*x/2 + 5/2 - 1/(x + 1))

함수 $f=\frac{x^{4} + x^{2} - x - 1}{x^{2} - 1}$의 약분은 cancel()를 사용합니다. 그에 앞서 분자와 분모 각각 인수분해하면 다음과 같습니다.

x=symbols('x')
f=(x**4+x**2-x-1)/(x**2-1);f

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{x^{4} + x^{2} - x - 1}{x^{2} - 1}}$

factor(numer(f)) #분자 인수분해

$\quad\color{navy}{\scriptstyle (x-1)(x^3+x^2+2x+1)}$

factor(denom(f)) #분모 인수분해 

$\quad\color{navy}{\scriptstyle (x-1)(x+1)}$

factor(numer(f))/factor(denom(f)) #인수분해된 형태로 분수표현

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}}$

cancel(f) #분수 약분(위 결과와 같음) 

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}}$ 위 함수를 부분분수로 나타내기 위해 apart()함수를 적용하면 분자의 차수가 분모의 차수보다 작은 형태로 반환합니다.

apart(f) 

$\quad\color{navy}{\scriptstyle x^{2} + 2 - \frac{1}{x + 1}}$

• together(분해된 유리함수들): 분해된 유리함수들을 통분합니다.
• expand(함수): 함수를 전개하는 것으로서 factor()와 반대 결과를 나타냅니다.

위의 부분분수로 분해된 함수 f에 대해 통분 합니다.

ff=apart(f); ff

$\quad\color{navy}{\scriptstyle x^{2} + 2 - \frac{1}{x + 1}}$

ff1=together(ff); ff1 #분수를 통분

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{x^{2} \left(x + 1\right) + 2 x + 1}{x + 1}}$

expand(numer(ff1))#분자를 전개

$\quad\color{navy}{\scriptstyle x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}$

expand(ff1) #분수를 전개

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{x^{3}}{x + 1} + \frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{2 x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

solve_undetermined_coeffs(식, 미지수(들), 변수): 미지수를 결정합니다.

유리함수를 분해한 다음의 부분함수에서 미지수 A, B, C, D가 존재합니다. $$\frac{1}{x^4+x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$$ 위 식에서 A, B, C, D를 결정하기 위해 solve_undermined_coeffs()함수를 사용합니다.

fx, A, B, C, D=symbols("x, A:D")
f=1/(x**4+x**2);f

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{1}{x^{4} + x^{2}}}$
함수 f를 부분분수로 분해한 형태를 나타내면 다음과 같습니다.

fp=A/x+B/x**2+(C*x+D)/(x**2+1); fp

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}}$

함수 f와 통분한 fp의 분자는 같아야 합니다.

fp=A/x+B/x**2+(C*x+D)/(x**2+1); fp

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}}$

fp1=together(fp);fp1 

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{A x \left(x^{2} + 1\right) + B \left(x^{2} + 1\right) + x^{2} \left(C x + D\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}}$

eq=Eq(numer(f), numer(fp1)); eq

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{A x \left(x^{2} + 1\right) + B \left(x^{2} + 1\right) + x^{2} \left(C x + D\right)}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}}$

위 식 eq에서 미지수 A,B,C, D를 결정하기 위해 다음 함수를 적용합니다.

solve_undetermined_coeffs(eq, [A,B,C,D], x)

{A: 0, C: 0, B: 1, D: -1}

함수 f를 직접 부분분수로 분해한 결과는 다음과 같습니다.

apart(f)

$\quad\color{navy}{\scriptstyle - \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2}}}$


위에서 적용한 함수 Eq()는 두 식이 같음을 나타냅니다.

• Eq(a, b) : a=b의 식을 생성
• Eq의 객체.lhs: Eq에 의해 생성된 식의 왼쪽항을 반환
• Eq의 객체.rhs: Eq에 의해 생성된 식의 오른쪽항을 반환

eq

$\quad\color{navy}{\scriptstyle 1 = A x \left(x^{2} + 1\right) + B \left(x^{2} + 1\right) + x^{2} \left(C x + D\right)}$

eq.lhs

$\quad\color{navy}{\scriptstyle 1}$

eq.rhs

$\quad\color{navy}{\scriptstyle A x \left(x^{2} + 1\right) + B \left(x^{2} + 1\right) + x^{2} \left(C x + D\right)}$

행렬의 적용

방정식의 해를 결정하기 위해 행렬을 적용할 수 있습니다. 예를 들어 위의 식 eq를 행렬 형태로 전환하면 다음과 같습니다.

• collect(식, 변수): 식을 변수의 차수에 따라 정리
• linear_eq_to_matrix(식, 변수): 선형식에서 각 지정된 변수의 계수들에 대응하는 행렬을 생성
• 행렬객체.rref(): 행렬에 대한 기약행사다리꼴을 반환

eq2=eq.rhs-eq.lhs; eq2

$\quad\color{navy}{\scriptstyle A x \left(x^{2} + 1\right) + B \left(x^{2} + 1\right) + x^{2} \left(C x + D\right) - 1}$

eq3=expand(eq2, x); eq3

$\quad\color{navy}{\scriptstyle A x^{3} + A x + B x^{2} + B + C x^{3} + D x^{2} - 1}$

eq4=collect(eq3, x); eq4

$\quad\color{navy}{\scriptstyle A x + B + x^{3} \left(A + C\right) + x^{2} \left(B + D\right) - 1}$

eqM=[A+C, B+D, A, B-1];eqM

[A + C, B + D, A, B - 1]

a, b=linear_eq_to_matrix(eqM, [A,B,C,D])
a #계수행렬

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}}$

b #상수행렬

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \left[\begin{matrix}0\\0\\0\\1\end{matrix}\right]}$

aug=a.row_join(b) ;aug #a, b를 결합

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]}$

aug.rref()[0] #확대행렬의 기약행사다리꼴을 반환

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}}$

예)
다음 유리함수를 부분분수로 분해? $$\frac{x^3+10x^2+3x+36}{(x-1)(x^2+4)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}+\frac{Dx+E}{(x^2+4)^2}$$ 위 식의 우항을 통분하면 좌항의 분자와 같아야 합니다.

x, A, B, C, D, E=symbols("x, A, B, C, D, E")
f=(x**3+10*x**2+3*x+36)/((x-1)*(x**2+4)**2);f

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 36}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 4\right)^{2}}}$

f2=A/(x-1)+(B*x+C)/(x**2+4)+(D*x+E)/(x**2+4)**2;f2

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4} + \frac{D x + E}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}}$

eq=Eq(numer(f), numer(together(f2))); eq

$\quad\color{navy}{\scriptstyle x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 36 = A \left(x^{2} + 4\right)^{2} + \left(x - 1\right) \left(x^{2} + 4\right) \left(B x + C\right) + \left(x - 1\right) \left(D x + E\right)}$

solve_undetermined_coeffs(eq, [A, B, C, D, E], x)

{A: 2, B: -2, C: -1, D: 1, E: 0}

그러므로 다음과 같이 부분분수로 분해될 것입니다.
$$\frac{x^3+10x^2+3x+36}{(x-1)(x^2+4)^2}=\frac{2}{x-1}-\frac{2x+1}{x^2+4}+\frac{x}{(x^2+4)^2}$$ 이 과정은 apart()로 실행될 수 있습니다.

apart(f)

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} - \frac{2 x + 1}{x^{2} + 4} + \frac{2}{x - 1}}$