삼각함수의 주기적 특성

삼각함수 주기적 특성

삼각함수는 일정한 범위를 기준으로 반복되는 주기함수(periodic function)입니다. 예로 cos(x)와 cos(2x)의 그래프를 그려보면 그림 1과 같습니다.

그림 1. cos(x)와 cos(2x)

x=np.linspace(0, 3*np.pi, 100)
y=np.cos(x)
y2=np.cos(2*x)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,2))
ax.plot(x, y, color="b", label="cos(x)")
ax.plot(x, y2, color="r", label="cos(2x)")
ax.vlines(2*np.pi, 0, 1, ls="dotted", color="b")
ax.hlines(0.5, 0, 2*np.pi, ls="dotted", color="b", label="period for cos(x)")
ax.hlines(0.3, 0, np.pi, ls="dotted", color="r", label="period for cos(2x)")
ax.vlines(np.pi, -1, 1, ls="dotted", color="g", label="amplititude")
ax.spines['left'].set_position(("data", 0))
ax.spines['bottom'].set_position(("data", 0))
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
x1=[0, np.pi/2, np.pi,3*np.pi/2, 2*np.pi,5*np.pi/2, 3*np.pi]
ax.set_xticks(x1, ['0', r"$\frac{\pi}{2}$", r"$\pi$", r"$\frac{3\pi}{2}$", r"$2\pi$",r"$\frac{5\pi}{2}$", r"$3\pi$"])
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.legend(bbox_to_anchor=(1, 0.9))
plt.show()

그림 1에서 cos(x)의 경우 2π를 주기(period)로 같은 그래프가 반복됩니다. 반면에 cos(2x)의 경우는 다음과 같이 π를 주기로 반복됩니다.

0 ≤ θ ≤ 2π 이므로 θ = 2x일 경우는 0 ≤ 2x ≤ 2π → 0 ≤ x ≤ π가 됩니다.

또한 각 그래프에서 함수의 대응값 즉, y축의 최대값과 최소값의 차이를 진폭(amplitude)라고 합니다.

cos(θ)의 범위는 다음 구간내에서 나타나므로 최대값과 최소값의 차이는 2이므로 진폭은 2입니다.

-1≤cos(θ)≤1

이러한 진폭은 각 그래프의 주기와 관계 없이 그 함수의 배수에 의해 결정됩니다. 그러므로 cos(2x)의 진폭 역시 2이지만 5cos(2x)는 진폭이 2인 cos(2x)를 5배 한 것으로 진폭은 10이 됩니다. 즉, 다음의 5cos(2x)의 그래프와 같이 cos(2x)의 최대값과 최소값이 5배 증가, 감소를 보이는 형태로서 주기는 같지만 진폭(amplitude)이 증가되는 형태를 나타냅니다.

그림. cos(2x)와 5cos(2x)

예 1)

다음 함수들의 주기와 진폭 ?

\begin{align}y &=2\sin(2x)\\y& =\frac{3}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) \end{align}

• y = 2sin(2x)
  • 0 ≤ 2x ≤ 2π → 0 ≤ x ≤ π, 즉, 주기는π
  • -1 ≤ sin(2x) ≤ 1 → -2 ≤ 2sin(2x) ≤ 2 그러므로 진폭은 4
• $y=\frac{3}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right)$
  • $0≤\frac{x}{2}≤2\pi \rightarrow 0≤x≤4\pi$, 즉, 주기는 4π
  • $-1≤\cos\left(\frac{x}{2}\right)≤1 \rightarrow -\frac{3}{2}≤\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)≤\frac{3}{2}$ 그러므로 진폭은 3

예 2)

다음 함수들의 그래프?

$$y=\sin(x),\quad y=\sin(\frac{x}{2}),y=\quad 3\sin(\frac{x}{2})$$

sin(x)함수 역시 2π의 주기를 갖습니다. 그러므로 $\frac{x}{2}$의 경우 주기는 다음과 같이 전환됩니다.

0 ≤ $\frac{x}{2}$ ≤ 2π → 0 ≤ x ≤ 4π

x=np.linspace(0, 4*np.pi, 100)
y=np.sin(x)
y2=np.sin(x/2)
y3=3*np.sin(x/2)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,2))
ax.plot(x, y, color="b", label="y=sin(x)")
ax.plot(x, y2, color="r", label=r"$y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$")
ax.plot(x, y3, color="g", label=r"$y=3\sin\left(\frac{x}{2}\right)$")
ax.spines['left'].set_position(("data", 0))
ax.spines['bottom'].set_position(("data", 0))
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
x1=[0, np.pi/2, np.pi,3*np.pi/2, 2*np.pi,5*np.pi/2, 3*np.pi, 7*np.pi/2, 4*np.pi]
ax.set_xticks(x1, ['0', r"$\frac{\pi}{2}$", r"$\pi$", r"$\frac{3\pi}{2}$", r"$2\pi$",r"$\frac{5\pi}{2}$", r"$3\pi$", r"$\frac{7\pi}{2}$", r"$4\pi$"])
ax.legend(bbox_to_anchor=(1, 0.9))
plt.show()

예 3)

sin(θ)=-1인 모든θ?

θ = …, -π/2, 3π/2, … = 2nπ - $\frac{\pi}{2}$

예 4)

cos(2θ) = $\frac{1}{2}$인 모든 θ?

2θ = 2nπ ± $\frac{\pi}{3}$ → θ = nπ ± $\frac{\pi}{6}$

예 5)

[0, 2π]구간에서 $2\sin(t)-1-\sin^2(t)=0$의 해?

\begin{align}\sin(t)&=x\\ x^2-2x+1&=(x-1)^2=0\\\Rightarrow&\; x=1\\\sin(t)=1 & → t=\frac{π}{2} \end{align}

sympy.solve(식, 변수) 함수를 적용합니다.

solve(식, 변수)

• 식: 동차방정식(homogeneous equation)이어야 합니다.
• 동차방정식은 다음과 같이 식의 결과가 0이 되는 방정식입니다.
  • $ax^2+bx+c=0$

t=symbols('t')
solve(2*sin(t)-1-sin(t)**2, t)

[pi/2]