삼각함수의 적분

삼각함수 경우 다음과 같이 치환을 사용하여 적분할 수 있습니다.
$\int cos(x)sin^5(x)dx$ sin(x)=u,  cos(x)dx=du로 치환하면 $\int u^5 du = \frac{1}{6}sin^6(x)+c$
위의 경우는 치환한 부분의 미분이 존재하는 경우입니다. 그러나 다음과 같이 그렇지 않은 경우는 삼각함수 자체를 변형하여 실행할 수 있습니다.
$\int sin^5dx=\int sin(x)sin^4(x)dx=\int sin(x)(1-cos^2(x))^2\\ \because sin^2(x)+cos^2(x)=1 \rightarrow sin^2(x)=1-cos^2(x) \\ cos(x)=u, -sin(x)dx=du \\-\int (1-u^2)^2 du= -\int 1-2u^2+u^4 du=-u+\frac{2}{3}u^3-\frac{1}{5}u^5+c=-cos(x)+\frac{2}{3}cos^3(x)-\frac{1}{5}cos^5(x)+c$
>>> from sympy import *
>>> x=symbols("x")
>>> integrate(sin(x)**5)
-cos(x)**5/5 + 2*cos(x)**3/3 - cos(x)

예) 다음 함수의 적분
$\int sin^6(x)cos^3(x) dx$
위 함수에 cos(x)=u → -sin(x)dx=du 로 치환하면 다음과 같이 변형됩니다.
$\int sin^5(x)cos^3(x)sin(x)dx=-\int sin^5(x)udu$
위의 식에서 sin^5(x)에 대한 처리가 문제가 됩니다. 반면에  sin(x)=u,  cos(x)dx=du로 치환하면 보다 적분이 용이한 식으로 전환됩니다.
$\int sin^6(x)cos^2(x)cos(x)dx=\int sin^6(x)(1-sin^2(x))cos(x)dx\\=\int u^6(1-u^2)du=\frac{1}{7}u^7-\frac{1}{9}u^9+c\\=\frac{1}{7}sin^7(x)-\frac{1}{9}sin^9(x)+c\\
\because sin^2(x)+cos^2(x)=1,  cos^2(x)=1-sin^2(x)$
위 예에서 적용된 삼각함수 변환식을 적용하기 위해서 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.

$\int sin^n(x)cos^m(x)dx$
n= 홀수이면 짝수로 변형하고 나머지 값을 미분한 값으로 치환이 가능합니다. 즉, sin⁵(x)=sin⁴(x)sin(x)로의 변형으로 sin⁴(x)는 (1-cos2(x))²과 같이 다른 함수로 전환이 가능하므로 치환적분을 적용할 수 있습니다. m도 역시 동이합니다. 즉, 위와 같은 형태의 삼각함수 적분에서 각 함수의 지수가 홀수인 부분을 치환부분으로 설정합니다.

치환적분을 적용하기 위해서는 치환한 함수의 미분 결과가 포함되어 있어야 합니다. 그러나 다음의 예처럼 미분 항이 포함되지 않은 경우는 삼각함수의 변환을 위해 배각공식 또는 합의 변형공식이 적용됩니다.
<배각공식>
cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=cos2(x)-sin²(x)=cos²(x)-1+cos^2(x)
cos²(x)=(1+cos(2x))/2
같은 과정으로
sin²(x)=(1-cos(2x))/2
sin²(x)=sin(x+x)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)=2sin(x)cos(x)
sin(x)cos(x)=sin(2x)/2

예) $\int sin^2x(x)cos^2(x)dx=\int \frac{1}{2}(1-cos(2x)) \frac{1}{2}(1+cos(2x))dx\\=\frac{1}{4} \int (1-cos^2(2x))dx=\frac{1}{4} \int (1-\frac{1}{2}(1+cos(4x)))dx=\frac{1}{4} (\frac{1}{2}x-\frax{1}{8}sin(4x))+c$

위 결과에서 sin(4x)=2sin(2x)cos(2x)로 변형될 수 있습니다. 다음 sympy에 의한 계산 결과에 이 공식을 적용한 것입니다.
>>> integrate(sin(x)**5)
-cos(x)**5/5 + 2*cos(x)**3/3 - cos(x)
>>> integrate(sin(x)**2*cos(x)**2, x)
x/8 - sin(2*x)*cos(2*x)/16

<합의 변형>
sin(x)cos(y)=[sin(x-y)-sin(x+y)]/2
sin(x)sin(y)=[cos(x-y)-cos(x+y)]/2
cos(x)cos(y)=[cos(x-y)+cos(x+y)]/2