부분적분

미분의 곱 법칙과 연관
(fg)'=f'g+fg'
$\int (fg)'dx=\int f'g dx+\int fg'dx \rightarrow fg=\int  f'g dx+\int fg'dx $
위 식을 다음과 같이 다시 정렬할 수 있습니다.
$\int fg' dx=fg-\int f'g dx $  Eq(1)
부분적분
위 식에서 f(x), g(x)를 각각 u, v로 치환하면 다음과 같이 정리됩니다.
f(x)=u, g(x)=v → f'(x)dx=du, g'(x)dx=dv
Eq(1)에 치환을 적용하면
$\int u dv=uv - \int v du$
위 식을 지정한 구간 [a, b]의 정적분은 다음과 같이 계산됩니다.
$\int^b_a u dv=uv|^b_a - \int^b_a v du$
위 부분 적분의 절차를 프로그램 함수로 작성하면 다음과 같습니다.

def partIntegralS(u, dv, Symbolvar, loup=0):
    du=diff(u, Symbolvar)
    v=integrate(dv, Symbolvar)
    uv=u*v
    vdu=integrate(v*du, Symbolvar)
    if loup==0:
        re=uv-vdu
        return(re)
    else:
        re=uv-vdu
        re1=re.subs(Symbolvar, loup[1])-re.subs(Symbolvar, loup[0])
        return(re1)

예) 다음을 적분?
1) $\int xe^{6x}dx=x\frac{1}{6}e^{6x}-\int\frac{1}{6}e^{6x} dx\\=\frac{x}{6}e^{6x}-\frac{1}{36}e^{6x}+c\\ \because u=x, \;dv=e^{6x} \;\rightarrow\; du=dx,\; v=\frac{1}{6}e^{6x}$
>>> from sympy import *
>>> x=symbols('x')
>>> F=x*exp(6*x);F
x*exp(6*x)
>>> integrate(F, x)
(6*x - 1)*exp(6*x)/36
>>> partIntegralS(x, exp(6*x), x)
x*exp(6*x)/6 - exp(6*x)/36

2) $\int^2_1 xe^{6x}dx=\frac{x}{6}e^{6x}|^2_1-\frac{1}{36}e^{6x}|^2_1$
>>> integrate(F, (x,-1,2))
7*exp(-6)/36 + 11*exp(12)/36
>>> partIntegralS(x, exp(6*x), x, [-1,2])
7*exp(-6)/36 + 11*exp(12)/36

3) $\int(3t+5)(cos(\frac{t}{4}))dt \text{?} \\ u=3t+5,\; dv=cos(\frac{t}{4})\; \rightarrow \; du=3dt,\; v=4sin(\frac{t}{4})\\ \int(3t+5)(cos(\frac{t}{4}))dt=(3t+5)4sin(\frac{t}{4})-\int4sin(\frac{t}{4})3dt=4(3t+5)sin(\frac{t}{4})+48cos(\frac{t}{5})+c$
>>> t=symbols('t')
>>> integrate((3*t+5)*cos(t/4), t)
12*t*sin(t/4) + 20*sin(t/4) + 48*cos(t/4)
>>> partIntegralS(3*t+5, cos(t/4), t)
4*(3*w + 5)*sin(w/4) + 48*cos(w/4)

4) $\int w^2sin(10w)dw?\\ u=w^2,\; dv=sin(10w)\; \rightarrow \; du=2wdw,\; v=-\frac{cos(10w)}{10}\\\int w^2sin(10w)dw=-w^2\frac{cos(10w)}{10}+\int\frac{cos(10w)}{10}2wdw=-\frac{w^2cos(10w)}{10}+\frac{wsin(10w)}{50}+\frac{cos(10w)}{500}$
>>> w=symbols('w')
>>> integrate(w**2*sin(10*w), x)
w**2*x*sin(10*w)
>>> w=symbols('w')
>>> integrate(w**2*sin(10*w), w)
-w**2*cos(10*w)/10 + w*sin(10*w)/50 + cos(10*w)/500
>>> partIntegralS(w**2, sin(10*w), w)
-w**2*cos(10*w)/10 + w*sin(10*w)/50 + cos(10*w)/500

5) $\int x \sqrt{x+1} dx\text{?}\\ u=x,\; dv=\sqrt{x+1}\; \rightarrow \; du=dv,\; v=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}// \int x \sqrt{x+1} dx=x\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}-\int\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2x}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{15}(x+1)^{\frac{5}{2}}+c$
>>> partIntegralS(x, (x+1)**(1/2), x)
0.666666666666667*x*(x + 1)**1.5 - 0.266666666666667*(x + 1)**2.5
위 함수를 sympy의 integrate()함수에 직접 적용하면 다음과 같은 에러가 발생합니다.
>>> integrate(x*(x+1)**(1/2), x)
ValueError: Non-suitable parameters.
Sympy모듈에서는 특정한 함수에서 분수(1/2)와 python float 자료형(0.5)의 인식에 문제가 발생합니다. 만약 위의 경우 1/2를 rational number로 지정해주면 에러를 피할 수 있습니다.
이 경우 위의 결과의 형태는 달라질 수 있습니다. 그러나 이것은 함수들을 정리하는 과정에서 나타나는 상이함으로 동일한 것입니다.
>>> integrate(x*(x+1)**(Rational('1/2')),x)
 2*x**2*sqrt(x + 1)/5 + 2*x*sqrt(x + 1)/15 - 4*sqrt(x + 1)/15
위의 결과는 부분적분의 결과와 약간의 차이가 있지만 함수의 정리과정에서 나타나는 상이함으로 일정구간의 정적분을 시행할 경우 동일한 값을 나타냅니다.
>>> partIntegralS(x, (x+1)**0.5, x, [-1,2]).evalf(4)
2.771
>>> integrate(x*(x+1)**(Rational('1/2')),(x, -1, 2)).evalf(4)
2.771
>>> partIntegralS(x, (x+1)**0.5, x, [5,9]).evalf(4)
79.93
>>> integrate(x*(x+1)**(Rational('1/2')),(x, 5, 9)).evalf(4)
79.93
위에서 나타낸 것과 같이 부정적분의 상이함에 불구하고 정적분에서 동일한 결과를 보이는 것은 상아한 함수들이 동일한 것임을 의미합니다.
이것은 부정적분의 상수항 c에 의해 최종결과의 정리과정에서 나타나는 것입니다. 즉, 잘못된 결과가 아님을 의미합니다.

6) $\int x^4e^{\frac{x}{2}} dx\\ u=x^4, \; dv=e^{\frac{x}{2}} $
>>> integrate(x**4*exp(x/2), x)
(2*x**4 - 16*x**3 + 96*x**2 - 384*x + 768)*exp(x/2)
>>> factor(partIntegralS(x**4, exp(x/2), x))
2*(x**4 - 8*x**3 + 48*x**2 - 192*x + 384)*exp(x/2)