[math] 정적분의 특성

정적분의 특성

\begin{align}\int_{ a }^{ b } f(x)dx&=\lim_{ n\to \infty} \sum_{ i=1 }^{ n } f(x^{ * }_{ i })\frac{ b-a }{ n } \\ \tag{식 1} &=-\lim_{ n\to \infty} \sum_{ i=1 }^{ n } f(x^{ * }_{ i })\frac{ a-b }{ n } \\ &=-\int_{ b }^{ a } f(x)dx\end{align}

\begin{align}\tag{식 2} \int_{ a }^{ a } f(x)dx&=\lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } f(x^{ * }_{ i })\frac { a-a }{ n }\\ &=0 \end{align}

\begin{align}\int_{ a }^{ b } cf(x)dx&=\lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } cf(x^{ * }_{ i })\frac { b-a }{ n } \\\tag{식 3} &=c\lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } f(x^{ * }_{ i })\frac { b-a }{ n }\\& =c\int_{ a }^{ b } f(x)dx\end{align}

\begin{align}\int_{ a }^{ b } f(x)\pm g(x)dx&=\lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } \left(f(x^{ * }_{ i })\pm g(x^{ * }_{ i })\right)\frac{b-a}{n}\\\tag{식 4} &=\lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } f(x^{ * }_{ i })\frac{b-a}{n}\pm \lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } g(x^{ * }_{ i })\frac{b-a}{n}\\ &=\int_{ a }^{ b } f(x)dx\pm \int_{ a }^{ b } g(x)dx\end{align}

\begin{align}\int_{ a }^{ b } f(x)dx&=\int_{ a }^{ c } f(x)dx+\int_{ c }^{ b } f(x)dx,\; \text{if}\; a \lt c \lt b \\ \int_{ a }^{ b } f(x)dx &=\lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } f(x^{ * }_{ i })\frac { b-a }{ n } \\ \tag{식 5}&=\lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } f(x^{ * }_{ i })\frac { (b-c)+(c-a) }{ n } \\ &=\lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } f(x^{ * }_{ i })\frac { b-c }{ n } +\lim_{ n\to \infty } \sum_{ i=1 }^{ n } f(x^{ * }_{ i })\frac { c-a }{ n } \\ &=\int_{ c }^{ b } f(x)dx+\int_{ a }^{ c } f(x)dx\end{align}

$$\tag{식 6}\int_{ a }^{ b } f(x)dx=\int_{ a }^{ b } f(t)dt$$

\begin{align}\tag{식 7}\int^b_a c\, dx &= c(b-a), \; \text{c: constant}\\ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1}c\frac{b-a}{n}&=\lim_{n \to \infty}cn\frac{b-a}{n}=\lim_{n \to \infty} c(b-a)\end{align}

$$\tag{식 8}\text{if} \; f(x) \geq 0 \; \text{for}\; a \leq x \leq b, \; \int^b_a f(x)\, dx \geq 0$$

$$\tag{식 9}\text{if} \; f(x) \geq g(x) \; \text{for}\; a \leq x \leq b, \; \int^b_a f(x)\, dx \geq \int^b_a g(x)\, dx$$

$$\tag{식 10}\text{if} \; m \leq f(x) \leq M \; \text{for}\; a \leq x \leq b, \; m(b-a) \leq \int^b_a f(x)\, dx \leq M(b-a)$$

\begin{align}\left| \int_{ a }^{ b } f(x)\,dx \right|& \leq \int_{ a }^{ b } |f(x)|\,dx\\ \Rightarrow -|f(x)|&\leq f(x)\leq |f(x)|\\ \tag{식 11}\rightarrow -\int_{ a }^{ b } f|(x)|\,dx&\leq \int_{ a }^{ b } f(x)\,dx\leq \int_{ a }^{ b } |f(x)|\,dx\quad \\ \equiv \left| \int_{ a }^{ b } f(x)\,dx \right|& \leq \int_{ a }^{ b } |f(x)|\,dx\\ \because \; |p|\,\leq b&\equiv -b\leq p\leq b\end{align}