[Math] 미분 문제

미분의 응용 문제

예)

자동차 A, B가 각각 서와 동쪽에 500m 의 간격을 두고 있습니다. A는 B를 향해 35m/h의 속도로 이동하고 B는 남쪽으로 50m/h의 속도로 이동합니다. 3시간 후에 두차 사이의 거리의 변화율? 증가 또는 감소?

위 문제는 그림의 z의 변화율을 계산하는 것입니다. 위의 x, y, z은 t에 대한 함수로 인식할 수 있습니다.

\begin{align}x^2(t)+y^2(t)&=z^2(t)\\ \frac{d(x(t)}{dt}=-35&\quad \frac{d(y(t))}{dt}=50\end{align}

3시간 후 x=500-35⋅3=395, y=50*3=150

from sympy import *

t=symbols('t')
x=Function('x')(t);x

x(t)

y=Function('y')(t);y 

y(t)

z=Function('z')(t);z

z(t)

eq=x**2+y**2-z**2;eq

$x^{2}{\left(t \right)} + y^{2}{\left(t \right)} - z^{2}{\left(t \right)}$

deq=diff(eq, t);deq

$2 x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + 2 y{\left(t \right)} \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} - 2 z{\left(t \right)} \frac{d}{d t} z{\left(t \right)}$

dz=solve(deq, diff(z, t)); dz

(x(t)*Derivative(x(t), t) + y(t)*Derivative(y(t), t))/z(t)

x1=500-35*3
y1=50*3
z1=(x1**2+y1**2)**0.5;z1

422.5221887664599

dz[0].subs({x:x1, diff(x, t):-35, y:y1, diff(y, t):50, z:z1})

-14.9696280293957

임계점(critical point) 정의

함수 f(x)의 점 c에 대한 미분값이 0 또는 존재하지 않는다면 x = c를 critical point 라고 합니다.

f'(c)=0 또는 f'(c)가 존재하지 않는다. ⇒ 임계점

예)

다음함수의 임계점?

1) f(x)=6x5+33x4-30x3+100

함수의 1차미분값이 0인 위치를 결정합니다.

x=symbols('x')
f=6*x**5+33*x**4-30*x**3+100;f

$6 x^{5} + 33 x^{4} - 30 x^{3} + 100$

df=diff(f, x);df

$30 x^{4} + 132 x^{3} - 90 x^{2}$

cp=solve(df, x);cp

[-5, 0, 3/5]

2) $g(t)=\sqrt[3]{t^2}(2t-1)$

t=symbols('t')
g=t**(Rational("2/3"))*(2*t-1);g

$t^{\frac{2}{3}} \left(2 t - 1\right)$

dg=diff(g, t);dg

$2 t^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \left(2 t - 1\right)}{3 \sqrt[3]{t}}$

factor(dg)

$\frac{2 \left(5 t - 1\right)}{3 \sqrt[3]{t}}$

$\frac{10t-2}{3t^{\frac{1}{3}}}=0$의 해는 solve() 함수를 사용합니다. 이 방정식에서 t=0이면 분모가 0이므로 정의되지 않습니다. 그러므로 t≠0라는 조건에서 해를 계산합니다.

cp=solve(dg, t);cp

[1/5]

3) $R(x)=\frac{x^2+1}{x^2-x-6}$

x=symbols('x')
r=(x**2+1)/(x**2-x-6);r

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x - 6}$

dr=diff(r, x); dr

$\frac{2 x}{x^{2} - x - 6} + \frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - x - 6\right)^{2}}$

cp=solve(dr, x);cp

[-7 + 5*sqrt(2), -5*sqrt(2) - 7]

4) y=6x-4cos(3x)

x=symbols('x')
y=6*x-4*cos(3*x);y

6x−4cos(3x)

dy=diff(y, x);dy

12sin(3x)+6

cp=solve(dy, x);cp

[-pi/18, 7*pi/18]

sin(x), cos(x)와 같은 함수는 2𝝿를 주기로 반복합니다. 즉, 변화율이 0이 부분이 반복됩니다. 위 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

그러므로 sin, cos과 관련된 함수의 해를 계산할 경우 해의 범위에 대한 조건이 지정되어야 합니다.