극한(Limit)의 개념

내용

1. 접선과 외선
2. 극한(limit)

1. 접선과 외선

한 점 x에서의 함수 f(x)의 접선(tangent line)은 그 점에서 함수의 그래프를 스쳐지나가는 직선으로 그 점과 평행입니다.

그림 1.

위 그림에서 직선 y는 곡선 f(x)위의 점 A(0.3, f(0.3))에 대한 접선입니다. 이 접선은 곡선의 다른 점 B를 통과합니다. 이와같이 어떤 점의 접선이 동일한 함수의 다른 점과 교점을 이루는 선을 외선(scant line)이라고 합니다. 위의 경우 직선 y의 식은 접점(점A)과 외선을 이루는 점B를 알 수 있으므로 쉽게 계산할 수 있습니다.

예 1)
  x=1에서 $f(x)=15-2x^2$의 접선?

그림 2.

위 그림에서 f(x) 위의 접점 A를 지나는 접선 a의 식을 계산하기 위해서는 a를 지나는 다른 점을 알거나 그 직선의 기울기를 알아야 합니다. 위 그림에서는 두 가지 모두 미지수입니다. 그러나 함수 f(x)위의 두 점 A와 B를 지나는 직선을 계산할 수 있습니다. 이 직선을 이용하여 접선을 추정할 수 있습니다.

위 그림에서 b의 기울기는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$\frac{f(0.5)-f(1.32)}{0.5-1.32}$$

import numpy as np
import pandas as pd
from sympy import *

x=symbols("x")
f=5-2*x**2
s1=(f.subs(x,0.5)-f.subs(x, 1.32))/(0.5-1.32)
N(s1, 2)

−3.6

그림 2의 점 B가 점 A쪽으로 근접할수록 직선 b는 직선 a와 근사해질 것입니다.(그림 3)

A로 수렴하는 여러 점들에 대한 기울기를 계산하면 다음과 같습니다.

x_p=np.linspace(0.51, 1, 5)
np.around(x_p, 2)

array([0.51, 0.63, 0.76, 0.88, 1.  ])

slope=[]
bias=[]
for j, i in enumerate(x_p):
    slope.append((f.subs(x, 0.5)- f.subs(x, i))/(0.5-i))
    bias.append(f.subs(x, i)-slope[j]*i)
equ=np.array([x_p, slope, bias], dtype=np.float64).T
np.around(equ, 3)

array([[ 0.51 , -2.02 , 15.51 ],
       [ 0.633, -2.265, 15.633],
       [ 0.755, -2.51 , 15.755],
       [ 0.878, -2.755, 15.878],
       [ 1.   , -3.   , 16.   ]])

rng=np.linspace(0, 1, 100)
plt.figure(figsize=(10, 7))
plt.plot(rng, [f.subs(x, i) for i in rng], color="red")
plt.scatter(0.5, f.subs(x, 0.5), color="red")
plt.plot()
for k, i,j in equ:
    plt.plot(rng, i*rng+j, linestyle="--", label=f"solpe={round(i,3)}")
    plt.scatter(k, f.subs(x, k))
plt.legend(loc="best")
plt.show()

그림 3.

그림 3과 같이 좌표가 A에 수렴할 수록 기울기는 -2에 수렴됩니다. 그러므로 점 A의 접선의 기울기는 -2라고 추정할 수 있습니다. 즉, 어떤 점 P(a, f(a))에 대한 접선은 그 점에 근접한 점 Q(x, f(x)=y)와의 선으로부터 추정할 수 있습니다. P와 Q사이에 직선은 식 1과 같이 표현할 수 있습니다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& m=\frac{y-f(a)}{x-a}\to y=f(a)+m(x-a)\end{array}$$

2. 극한(limit)

식 1에서 적절한 기울기의 추정은 그림 4와 같이 나타낼 수 있습니다.

그림 4.

즉, 그림 4와 같이 점 a로 접근하는 점들은 a와 차이 h로 나타낼 수 있습니다. h의 부호에 따라 접근 방향의 차이를 보이지만 결국 h의 절대값이 작아질수록 점 a로 접근하며 그 두 점 사이의 직선은 점 a에서의 접선에 접근할 것입니다. 이 관계는 다음 식으로 표현됩니다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{array}$$

식 2를 일반화하기 위해 특정한 값 a를 변수 x로 치환하면 어떤 점에 대한 접선의 기울기에 대한 식 3의 공식으로 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}$$

식 3을 보다 정확하게 표현하면 h가 0에 접근할수록 정확한 접선의 기울기에 접근합니다. 그러므로 식 4와 같이 나타냅니다.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=l\end{array}$$

식 4의 표현을 극한(limit)이라고 합니다. 즉, x=h에서의 극한값은 l이라고 합니다.

예 2)
  다음 극한의 표현을 봅시다.

1. $$1.\underset{x\to 1}{lim}\frac{2-2x^2}{x-1}$$

위 식은 $f(x)=2x^2$ 함수가 x=1인 점과 그에 근접한 점사이의 기울기를 의미합니다.

f=(2-2*x**2)/(x-1)
rng=np.linspace(0.95, 1.05, 10)
slope=np.array([[i, f.subs(x, i)] for i in rng], dtype=np.float32)
np.around(slope, 3)

array([[ 0.95 , -3.9  ],
       [ 0.961, -3.922],
       [ 0.972, -3.944],
       [ 0.983, -3.967],
       [ 0.994, -3.989],
       [ 1.006, -4.011],
       [ 1.017, -4.033],
       [ 1.028, -4.056],
       [ 1.039, -4.078],
       [ 1.05 , -4.1  ]], dtype=float32)

x가 1에 근접하면 결과는 -4와 가까워짐을 알수 있습니다. 그러므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{2-2x^2}{x-1}=-4$$

위와 같은 계산은 python의 모듈 sympy의 limit(함수, 변수, 접근값)에 의해 계산할 수 있습니다.

limit(f, x, 1)

−4

$$\begin{array}{rl}2.f(t)& =t^3-6t^2+30,t=5\\ & \underset{t\to 5}{lim}\frac{f(t)-f(5)}{t-5}\end{array}$$

t=symbols("t")
f=t**3-6*t**2+30
rng=np.linspace(4.9, 5.1, 10)
slope=np.array([[i, f.subs(t, i)] for i in rng], dtype=np.float32)
np.around(slope, 3)

array([[4.9  , 3.589],
       [4.922, 3.887],
       [4.944, 4.194],
       [4.967, 4.51 ],
       [4.989, 4.834],
       [5.011, 5.168],
       [5.033, 5.51 ],
       [5.056, 5.861],
       [5.078, 6.222],
       [5.1  , 6.591]], dtype=float32)

limit(f, t, 5)

5

위 계산 결과에 의하면 x가 5에 근접할수록 결과는 5에 수렴됩니다. 그러므로 위의 식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\underset{x\to 5}{lim}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}=5$$

위의 예 1, 2에서 각 x 값에 대응하는 y값은 함수에 의해 나타낼 수 있습니다. 즉, 함수에 존재하는 위치에서의 극한값입니다. 그러나 다음 예 3과 같이 어떤 함수가 특정한 x 값을 포함하지 않는다면 그 점에서의 극한값을 계산할 수 없을 것입니다.

예 3)

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 2}{lim}g(x)\\ & g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x}& \text{if}x\ne 2\\ 6& \text{if}x=2\end{array}\end{array}$$

위 함수의 점 x=2의 접선의 기울기를 계산합니다.

x=symbols("x")
g=(x**2+4*x-12)/(x**2-2*x)
g

$$\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x}$$

x1=np.r_[np.linspace(1, 1.99, 10), np.linspace(2.01, 3, 10)]
y1=np.array([g.subs(x, i) for i in x1], dtype=float)
np.around(np.array([x1, y1]).T, 3)

array([[1.   , 7.   ],
          ⋮,    ⋮
       [1.99 , 4.015],
       [2.01 , 3.985],
       [2.12 , 3.83 ],
          ⋮,    ⋮
       [3.   , 3.   ]]))

limit(g, x, 2)

4

위 결과에 의하면 x=1에 근접할 수록 결과는 4에 접근한다고 할 수 있습니다. 즉,

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=4$$

이는 위의 g 함수를 다음과 같이 인수분해 한후 x=2를 대입한 결과와 같습니다.

g1=g.simplify()
g1

$$\frac{x+6}{x}$$

그러나 위 함수의 조건은 g(2)=6이므로 위의 극한값은 정당하지 않습니다. 결과적으로 극한값이 존재하기 위해서는 계산하려는 값의 구간에서 그 함수가 연속적이어야 합니다.

그림 5.

위 그림의  g(x)는 점 2에서 이어지지 않습니다. 즉, x=2에 대한 y의 값은 6으로 특정되어있으므로 극한값 4와는 일치하지 않습니다. 이러한 경우를 "g(x)는 x=2에서 불연속"된다고 표현합니다.이러한 불연속점의 경우 극한 값을 계산할 수 없습니다.

예) 4
다음 함수의 x=0에서의 극한값?

$$\underset{x\to 0}{lim}=\frac{1-cos(\theta )}{\theta }$$

0에서 극한값이 존재하기 위해서는 이 점에서 위 함수가 연속적이어야 합니다. 일반적으로 0으로 나누어진 경우는 무한대로 불연속적입니다. 그러나 위 함수는 0에서 분자 역시 0이 되므로 그 점에서 연속적입니다. 위 함수에 대한 그래프는 다음과 같습니다.

t=symbols("theta")
f=(1-cos(t))/t
f

$\frac{1-\cos \left(\theta \right)}{\theta }$

x=np.linspace(-20, 20, 100)
y=np.array([f.subs(t, i) for i in x], dtype=float)
plt.figure(dpi=100)
plt.plot(x, y, label=r'f=$\frac{1-\cos(\theta)}{\theta}$')
plt.xlabel('x', size=12, weight="bold")
plt.ylabel('f(x)', size=12, weight="bold")
plt.legend(loc='best')
plt.show()

x=np.r_[np.linspace(-0.5, -0.001, 10), np.linspace(0.001, 0.5, 10)]
y=np.array([f.subs(t, i) for i in x], dtype=float)
coord=np.array([x, y]).T
np.around(coord, 3)

array([[-0.5  , -0.245],
       [-0.445, -0.219],
          ⋮,    ⋮
       [-0.001, -0.   ],
       [ 0.001,  0.   ],
       [ 0.056,  0.028],
          ⋮,    ⋮
       [ 0.5  ,  0.245]])

limit(f, t, 0)

예) 5
다음의 극한값?

$$\underset{x\to 0}{lim}cos(\frac{\pi }{x})$$

다음 코드 결과와 같이 x=0에서 함수의 값이 존재하지 않습니다. 즉, 이 점에서 불연속적입니다. 그러므로 극한값이 존재하지 않습니다.

f=cos(pi/t)
f

cos(𝜋𝜃)

f.subs(t, 0)

NaN

limit(f, t, 0)

⟨−1,1⟩

위 결과는 최소값 -1, 최대값 1사이에서 발산함을 나타내는 것으로 값이 없음을 의미합니다.

예) 6

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{lim}h(x)\\ & h(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if}x<0\\ 1& \text{if}x\ge 0\end{array}\end{array}$$

위 함수  h(x) 역시 x=0에서 불연속입니다. 그러므로 그 점에서는 극한값을 계산할 수 없습니다.

위 그림에서 x=0에서 불연속입니다. 즉, 점 0을 기준으로 왼쪽에서 접근할 경우의 값은 0이지만 오른쪽에서 접근할 경우는 1입니다. 이러한 서술을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}=0& \text{Left-handed limit}\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}=1& \text{Right-handed limit}\end{array}$$

즉, 어떤 점에서 Left-handed limit와 Right-handed limit값이 일치하지 않는다면 불연속점이며 그 점에서의 극한값은 존재할 수 없습니다.

결론적으로 어떤점에서의 극한값은 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=L\iff \underset{x\to a}{lim}f(x)=L$$

정리하면 함수 f(x)를 x=a점을 포함하는 구간에서 극한은 다음과 같이 정의합니다. $$\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$$ 위 식이 성립하는 구간에서 다음이 성립합니다. $$0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ,ϵ,\delta >0$$

위의 서술을 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

x와 a의 차이가 δ보다 작을 경우는 f(x)의 극한값 L과의 차이는 위 그래프의 나타낸 ε보다 작다는 것을 의미합니다.