지수(Exponents) 계산

내용

• 지수 계산
• 지수함수들의 연산특성

지수함수의 계수

지수 계산

$a^n=a \cdot a \cdot \cdots a$ 즉, a를 n번 곱하는 것을 의미합니다. 이 식의 a를 밑수, n을 지수라고 합니다.

지수는 python에서는 a**n, 내장함수인 pow(밑수, 지수) 또는 numpy 모듈의 power(밑수, 지수)를 적용할 수 있습니다. 또한 sympy 모듈의 Pow(밑수, 지수)를 적용하여 미지수를 포함한 지수를 표현할 수 있습니다.

import numpy as np 
from sympy import *

2**5, pow(2, 5), np.power(2, 5)

(32, 32, 32)

a, n=symbols("a, n")
eq=Pow(a, n)
eq

$\quad \color{navy}{a^{n}}$

eq.subs({a:2, n:5})

$\quad \color{navy}{32}$

지수가 분수로 나타낼 수 있을 경우 식 1과 같이 거듭제곱근(radical)로 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{equation}\tag{1}a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\end{equation}$$

np.power(2, 1/2)

1.4142135623730951

eq.subs({a:2, n:1/2})

$\quad \color{navy}{1.4142135623731}$

지수가 음수일 경우는 식 2와 같이 계산됩니다.

$$\begin{equation}\tag{2} a^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{equation}$$

2**(-2)

0.25

1/np.power(2, 2)

0.25

지수함수들의 연산특성

지수함수들은 식 2와 같은 특성으로 연산할 수 있습니다.

$$\begin{align}\tag{2}\displaystyle &a^na^m=a^{n+m}&\quad(2.1)\\&(a^n)^m=a^{n+m}&\quad(2.2)\\ &\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \; \text{or} \; \frac{1}{a^{m-n}}\quad a \neq 0&\quad(2.3)\\ &(ab)^n=a^nb^n&\quad(2.4)\\ &(\frac{b}{a})^n=\frac{b^n}{a^n}, \quad a \neq 0&\quad(2.5)\\ &(ab)^{-n}=\frac{1}{(ab)^n}&\quad(2.6)\\ &\frac{1}{(a)^{-n}}=a^n&\quad(2.7)\\ &\frac{b^{-n}}{a^{-m}}=\frac{a^n}{b^n}, \quad a, b \neq 0&\quad(2.8)\\ &(a^nb^m)^k=a^{nk}b^{mk}&\quad(2.9)\\ &(\frac{b^n}{a^m})^k=\frac{b^{nk}}{a^{mk}}, \quad a, b \neq 0&\quad(2.10)\end{align}$$

a, b, n, m, k=symbols("a b n m k")
eq1=a**n*a**m
# eq 2.1
eq2=a**(n+m)
print(latex(eq1.subs({n:-3, m:5})))
print(latex(eq2.subs({n:-3, m:5})))

$\quad \color{navy}{a^{2}}$ $\quad \color{navy}{a^{2}}$

# eq 2.2
eq1=(a**n)**m
eq2=a**(n*m)
print(latex(eq1.subs({n:-3, m:5})))
print(latex(eq2.subs({n:-3, m:5})))

$\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{15}}}$ $\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{15}}}$

# eq 2.3
eq1=(a**n)/(a**m)
eq2=a**(n-m)
eq3=1/(a**(m-n))
print(latex(eq1.subs({n:-3, m:5}))) 
print(latex(eq2.subs({n:-3, m:5}))) 
print(latex(eq3.subs({n:-3, m:5})))

$\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{8}}}$ $\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{8}}}$ $\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{8}}}$

# eq 2.4
eq1=(a*b)**n
eq2=(a**n)*(b**n)
print(latex(eq1.subs(n,-3))) 
print(latex(eq2.subs(n,-3)))

$\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{3} b^{3}}}$ $\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{3} b^{3}}}$

# eq 2.5
eq1=(a/b)**n
eq2=(a**n)/(b**n)
print(latex(eq1.subs(n,-3)))
print(latex(eq2.subs(n,-3)))

$\quad \color{navy}{\frac{b^{3}}{a^{3}}}$ $\quad \color{navy}{\frac{b^{3}}{a^{3}}}$

# eq 2.6
eq1=(a*b)**(-n)
eq2=1/((a*b)**n)
print(latex(eq1.subs(n,3))) 
print(latex(eq2.subs(n,3)))

$\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{3} b^{3}}}$ $\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{3} b^{3}}}$

# eq 2.7
eq1=1/(a**(-n))
eq2=a**n
print(latex(eq1.subs(n,3)))
print(latex(eq2.subs(n,3)))

$\quad \color{navy}{a^{3}}$ $\quad \color{navy}{a^{3}}$

# eq 2.8
eq1=(b**(-m))/(a**(-n))
eq2=(a**n)/(b**m)
print(latex(eq1.subs({n:-3, m:5})))
print(latex(eq2.subs({n:-3, m:5})))

$\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{3} b^{5}}}$ $\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{3} b^{5}}}$

# eq 2.9
eq1=(a**n*b**m)**k
eq2=a**(n*k)*b**(m*k)
print(latex(eq1.subs({n:-3, m:5, k:6})))
print(latex(eq2.subs({n:-3, m:5, k:6})))

$\quad \color{navy}{\frac{b^{30}}{a^{18}}}$ $\quad \color{navy}{\frac{b^{30}}{a^{18}}}$

# eq 2.10
eq1=((a**n)/(b**m))**k
eq2=(a**(n*k))/(b**(m*k))
print(latex(eq1.subs({n:-3, m:5, k:6})))
print(latex(eq2.subs({n:-3, m:5, k:6})))

$\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{18} b^{30}}}$ $\quad \color{navy}{\frac{1}{a^{18} b^{30}}}$

식 2의 특성은 다음과 같이 확장할 수 있습니다.

$$(abcd)^n=a^nb^nc^nd^n$$

기호를 사용하여 수식을 평가하기 위해서는 python의 sympy모듈을 사용하여 나타낼 수 있습니다.

x,y=symbols("x,y")
eq=(4*x**(-4)*y**5)**3
print(latex((eq)))

$\quad \color{navy}{\frac{64 y^{15}}{x^{12}}}$

x, y, z=symbols("x y z")
print(latex((-10*z**(-2)*y**-4)**2*(z**3*y)**(-5)))

$\quad \color{navy}{\frac{100}{y^{13} z^{19}}}$