삼각함수 미분공식

1. $f(x)=x^n → f′(x)=nxn-1 or  \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

위 식을 증명하기 위해서는  n이 양수라고 가정합니다. 또한 이항정리를 사용합니다. 

<이항정리> 

$$\begin{gathered} (a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left({}_k^n\right)a^{n-k}{b}^k \\ =a^n+\left({}_1^n\right)a^{n-1}b+\left({}_2^n\right)a^{n-2}{b}^2+\cdots +\left({}_{n-1}^n\right)a{b}^{n-1}+\left({}_n^n\right)a{b}^n \\ =a^n+n{a}^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}{a}^{n-2}{b}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}{a}^{n-3}{b}^3+\cdots +na{b}^{n-1}+b^n \end{gathered}$$

위 식의 전개에서 

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!},n!=n\cdot (n-1)\cdot \cdots \cdot 2\cdot 1$

f(x)=xn 이라고 하면 

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x^n+n{x}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}{x}^{n-2}{h}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}{x}^{n-3}{h}^3+\cdots +nx{h}^{n-1}+h^n)-x^n}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}n{x}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}{x}^{n-2}h+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}{x}^{n-3}{h}^2+\cdots +nx{h}^{n-2}+h^{n-1} \\ =n{x}^{n-1} \end{gathered}$$

2. $\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{sin\theta }{\theta }=1$  

위 그림은 원위의 두 접선을 기준으로 작성된 것으로 다음을 유도 할 수 있습니다. 증명과정을 간단히 하기 위해  0 ≤ θ≤ π/2 와 θ → 0을 가정합니다. 

arc AC < $\overline{AB}+\overline{BC}$ (1)

그림으로 부터 $\overline{BC}<\overline{BD},\overline{AB}+\overline{BD}=\overline{AD}$를 알 수 있습니다. 그러므로 식 (1)은 다음과 같이 수정할 수 있습니다. 

arc AC <$\overline{AB}+\overline{BC}<\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AD}$ (2)

$tan\theta =\frac{\overline{AD}}{\overline{AO}}\to \overline{AD}=tan\theta \overline{AO}=tan\theta ,\because (\overline{AO}=1)$  

그러므로 식 (2)는  식(3)으로 수정됩니다. 

arc AC<$\overline{AD}$= tan θ $\overline{AD}$=tan θ (3)

여기서 θ와 radian 즉, 원의 각과 원의 길이의 관계를 생각해 봅니다. 

360: θ=2πr: arc AC (r= 반지름) 

arc AC=θr=θ $\overline{OA}$=θ

위 결과를 식(3)에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다. 

arc AC= θ < tan θ =$\frac{sin\theta }{cos\theta }$ (4)

위 그림에서 식 5 관계가 성립합니다. 

$\overline{CE}<\overline{AC}$ < arc AC (5)

식 (5)는 다음과 같이 정리되므로 식 (5)는 식(6)과 같이 재정리됩니다. 

sinθ=$\frac{\overline{CE}}{\overline{OC}}\to \overline{CE}=sin\theta \overline{OC}$=sinθ 

$\overline{CE}$=sinθ < $\overline{AC}$< arc AC = θ (6)

그러므로 식(6)의 양변을 θ로 나누어 주면 다음이 성립됩니다. 

$\frac{sin\theta }{\theta }<1$ (7)

식 (4)와 (7)을 결합하면 

$cos\theta <\frac{sin\theta }{\theta }<1$

$\underset{\theta \to 0}{lim}cos\theta =1,\underset{\theta \to 0}{lim}=1\to \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{sin\theta }{\theta }=1\text{Eq 1}$

cos θ는 θ = 0 연속입니다. 즉, 

$\underset{\theta \to 0^{-}}{lim}cos\theta =1,\underset{\theta \to 0^{+}}{lim}cos\theta =1$

그러므로 Eq 1 역시 θ = 0에서 연속입니다.

3. $\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{cos\theta -1}{\theta }=0$

$$\begin{gathered} \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{cos\theta -1}{\theta } \\ =\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{(cos\theta -1)(cos\theta +1)}{\theta (cos\theta +1)} \\ =\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{((cos\theta {)}^2-1)}{\theta (cos\theta +1)} \end{gathered}$$(1)

삼각함수의 특성 중에 다음식을  (1) 에 대입합니다. 

sin2θ+cos2θ=1 → cos2θ-1=-sin2θ

$$\begin{gathered} \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{co{s}^2\theta -1}{\theta (con\theta +1)} \\ =\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{-si{n}^2\theta }{\theta (con\theta +1)} \\ =\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{sin\theta }{\theta }\frac{-sin\theta }{cos\theta +1} \\ =\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{sin\theta }{\theta }\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{-sin\theta }{cos\theta +1} \end{gathered}$$(2)

 (2) 에서 

$\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{sin\theta }{\theta }=1$입니다. (2번 증명 참조)

>>> from sympy import *

>>> t=symbols("t")

>>> limit(t, t, 0)

0

그러므로 다음과 같이 계산됩니다. 

$\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{sin\theta }{\theta }\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{-sin\theta }{cos\theta +1}=1\cdot 0=0$

4. sin(x)

$\frac{d}{dx}(sin(x))=\underset{h\to 0}{lim}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}$

위 식에서 sin(x+h)은 다음과 같이 전개할 수 있습니다. 

sin(x+h)=sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}(sin(x))=\underset{h\to 0}{lim}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{sin(x)(cos(h)-1)}{h}+\underset{h\to 0}{lim}\frac{cos(x)sin(h)}{h} \\ =sin(x)\underset{h\to 0}{lim}\frac{cos(h)-1}{h}+cos(x)\underset{h\to 0}{lim}\frac{sin(h)}{h} \\ =sin(x)\cdot 0+cos(x)\cdot 1=cos(x) \end{gathered}$$

5.cos(x)

$\frac{d}{dx}(cos(x))=\underset{h\to 0}{lim}\frac{cos(x+h)-cos(x)}{h}$

위 식의 cos(x+h)는 다음과 같이 전개할 수 있습니다. 

cos(x+h)=cos(x)cos(h)-sin(x)sin(h)

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}(cos(x))=\underset{h\to 0}{lim}\frac{cos(x)cos(h)-sin(x)sin(h)-cos(x)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}cos(x)\frac{cos(h)-1}{h}-sin(x)\underset{h\to 0}{lim}\frac{sin(h)}{h} \\ =cos(x)\cdot 0-sin(x)\cdot 1=-sin(x) \end{gathered}$$

6.tan(x)

$tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}tan(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{sin(x)}{cos(x)}\right) \\ =\frac{cos(x)cos(x)-sin(x)(-sin(x))}{co{s}^2(x)} \\ =\frac{co{s}^2(x)+si{n}^2(x)}{co{s}^2(x)}=\frac{1}{co{s}^2(x)}=se{c}^2(x) \end{gathered}$$

7. 이외의 다른 삼각함수의 미분 공식은 다음과 같습니다. 

$\frac{d}{dx}cot(x)=-cs{c}^2(x)$

$\frac{d}{dx}sec(x)=sec(x)tan(x)$

$\frac{d}{dx}csc(x)=-csc(x)cot(x)$