삼각함수 미분공식

1. $f(x)=x^n → f′(x)=nxn-1 or  \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

위 식을 증명하기 위해서는  n이 양수라고 가정합니다. 또한 이항정리를 사용합니다. 

<이항정리> 

$(a+b)^n=\sum^n_{k=0}\left(^n_k \right) a^{n-k}b^{k}\\=a^n+\left(^n_1 \right)a^{n-1}b+\left(^n_2 \right)a^{n-2}b^2+ \cdots +\left(^n_{n-1} \right)ab^{n-1}+\left(^n_n \right)ab^n\\=a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}a^{n-3}b^3+\cdots+nab^{n-1}+b^n$

위 식의 전개에서 

$\left( \begin{matrix} n \\k  \end{matrix} \right) =\frac { n! }{ k!(n-k)! } ,\quad n!=n\cdot (n-1)\cdot \cdots \cdot 2\cdot 1$

f(x)=xn 이라고 하면 

$f^\prime(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\=\lim_{h \to 0}\frac{(x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3}h^3+\cdots+nxh^{n-1}+h^n)-x^n}{h} \\=\lim_{h \to 0} \; nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3}h^2+\cdots+nxh^{n-2}+h^{n-1} \\=nx^{n-1}$

2. $\lim_{\theta \to 0} \frac{sin \theta}{\theta}=1$  

위 그림은 원위의 두 접선을 기준으로 작성된 것으로 다음을 유도 할 수 있습니다. 증명과정을 간단히 하기 위해  0 ≤ θ≤ π/2 와 θ → 0을 가정합니다. 

arc AC < $\overline{AB} +\overline{BC}$ (1)

그림으로 부터 $\overline{BC}<\overline{BD},\; \overline{AB}+\overline{BD}=\overline{AD}$를 알 수 있습니다. 그러므로 식 (1)은 다음과 같이 수정할 수 있습니다. 

arc AC <$ \overline{AB} +\overline{BC}<\overline{AB} +\overline{BC}=\overline{AD}$ (2)

$tan\theta\; =  \frac{\overline{AD}}{\overline{AO}} \rightarrow \overline{AD}=tan\theta\; \overline{AO}=tan \theta, \quad \because (\overline{AO}=1)$  

그러므로 식 (2)는  식(3)으로 수정됩니다. 

arc AC<$\overline{AD}$= tan θ $\overline{AD}$=tan θ (3)

여기서 θ와 radian 즉, 원의 각과 원의 길이의 관계를 생각해 봅니다. 

360: θ=2πr: arc AC (r= 반지름) 

arc AC=θr=θ $\overline{OA}$=θ

위 결과를 식(3)에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다. 

arc AC= θ < tan θ =$\frac{sin \theta}{cos \theta}$ (4)

위 그림에서 식 5 관계가 성립합니다. 

$\overline{CE} < \overline{AC}$ < arc AC (5)

식 (5)는 다음과 같이 정리되므로 식 (5)는 식(6)과 같이 재정리됩니다. 

sinθ=$\frac{\overline{CE}}{\overline{OC}} \rightarrow \overline{CE}=sin \theta\;\overline{OC}$=sinθ 

$\overline{CE}$=sinθ < $\overline{AC}$< arc AC = θ (6)

그러므로 식(6)의 양변을 θ로 나누어 주면 다음이 성립됩니다. 

$\frac{sin \theta}{\theta}<1$ (7)

식 (4)와 (7)을 결합하면 

$cos θ < \frac{sinθ}{θ} < 1$

$\lim_{\theta \to 0} cos \theta = 1, \quad \lim_{\theta \to 0}=1 \rightarrow \lim_{\theta \to 0}\frac{sin \theta}{\theta} =1 \quad \text{Eq 1}$

cos θ는 θ = 0 연속입니다. 즉, 

$\lim_{\theta \to 0^-} cos \theta = 1, \lim_{\theta \to 0^+} cos \theta = 1$

그러므로 Eq 1 역시 θ = 0에서 연속입니다.

3. $\lim_{\theta \to 0} \frac{cos\theta -1}{\theta}=0 $

$\lim_{\theta \to 0}\frac{cos \theta -1}{\theta}\\=\lim_{\theta \to 0}\frac{(cos \theta -1)(cos \theta +1)}{\theta(cos \theta +1)}\\=\lim_{\theta \to 0}\frac{((cos \theta)^2 -1)}{\theta(cos \theta +1)}$(1)

삼각함수의 특성 중에 다음식을  (1) 에 대입합니다. 

sin2θ+cos2θ=1 → cos2θ-1=-sin2θ

$\lim_{\theta \to 0}\frac{cos^2 \theta -1}{\theta(con \theta+1)}\\=\lim_{\theta \to 0}\frac{-sin^2 \theta}{\theta(con \theta+1)}\\=\lim_{\theta \to 0}\frac{sin \theta}{\theta}\frac{-sin \theta}{cos \theta+1}\\= \quad \lim_{\theta \to 0}\frac{sin \theta}{\theta} \lim_{\theta \to 0}\frac{-sin \theta}{cos \theta+1}$(2)

 (2) 에서 

$ \lim_{\theta \to 0}\frac{sin \theta}{\theta}=1 $입니다. (2번 증명 참조)

>>> from sympy import *

>>> t=symbols("t")

>>> limit(t, t, 0)

0

그러므로 다음과 같이 계산됩니다. 

$\lim_{\theta \to 0}\frac{sin \theta}{\theta} \lim_{\theta \to 0}\frac{-sin \theta}{cos \theta+1}=1\cdot 0=0$

4. sin(x)

$\frac{d}{dx}(sin(x))=\lim_{h \to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}$

위 식에서 sin(x+h)은 다음과 같이 전개할 수 있습니다. 

sin(x+h)=sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)

$\frac{d}{dx}(sin(x))=\lim_{h \to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}\\=\lim_{h \to 0}\frac{sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x)}{h}\\=\lim_{h \to 0}\frac{sin(x)(cos(h)-1)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{cos(x)sin(h)}{h}\\=sin(x)\lim_{h \to 0}\frac{cos(h)-1}{h}+cos(x)\lim_{h \to 0}\frac{sin(h)}{h}\\=sin(x)\cdot0+cos(x)\cdot1=cos(x)$

5.cos(x)

$\frac{d}{dx}(cos(x))=\lim_{h \to 0} \frac{cos(x+h)-cos(x)}{h}$

위 식의 cos(x+h)는 다음과 같이 전개할 수 있습니다. 

cos(x+h)=cos(x)cos(h)-sin(x)sin(h)

$\frac{d}{dx}(cos(x))=\lim_{h \to 0} \frac{cos(x)cos(h)-sin(x)sin(h)-cos(x)}{h}\\=\lim_{h \to 0} cos(x)\frac{cos(h)-1}{h}-sin(x)\lim_{h \to 0}\frac{sin(h)}{h}\\=cos(x)\cdot 0-sin(x)\cdot 1=-sin(x)$

6.tan(x)

$tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$

$\frac{d}{dx}tan(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{sin(x)}{cos(x)}\right)\\=\frac{cos(x)cos(x)-sin(x)(-sin(x))}{cos^2(x)}\\=\frac{cos^2(x)+sin^2(x)}{cos^2(x)}=\frac{1}{cos^2(x)}=sec^2(x)$

7. 이외의 다른 삼각함수의 미분 공식은 다음과 같습니다. 

$\frac{d}{dx}cot(x)=-csc^2(x)$

$\frac{d}{dx}sec(x)=sec(x)tan(x)$

$\frac{d}{dx}csc(x)=-csc(x)cot(x)$