무한대와 극한

1. 무한 극한 

x=a 점으로 충분히 근접할 경우 극한값이 양(positive)의 무한대로 증가하면 또는 음(negative)의 무한대로 확장되는 것을 다음과 같이 나타냅니다.
$\lim_{x \to a}f(x) = \infty \, \;  \lim_{x \to a}f(x) = -\infty$
이러한 경우 그 함수에 의해 x=a는 정의되지 않습니다.

1. $ f(x)=\frac{1}{x}$함수의 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

이 함수는 x가 0에 접근할 수록 값이 양의 무한대와 음의 무한대로 확장됩니다. 즉.
$\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty, \; \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty$
위의 결과와 같이 0에 대해 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 일치하지 않습니다. 즉, 그 점에서는 불연속이므로 x=0에서의 극한 값은 존재하지 않습니다.
$\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} \; \text{doesn't exist}$

2. $ f(x)=\frac{1}{x^2}$?
위 함수는 극한은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = \infty, \; \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x} = \infty$
위 결과와 같이 x=0에 대해 왼쪽극한과 오른쪽 극한은 같습니다. 그러므로 0에 대한 극한은 $ \infty$입니다.
 $\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = \infty$

위 두 문제로 부터 다음을 정의할 수 있습니다.
x=a에서 다음이 성립하면 함수 f(x)는 x=a를 기준으로 대칭입니다.
$\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty, \;  \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty, \;  \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$

3. 함수 $f(x) = \frac{3}{(4-x)^3}$에 대해 x=4의 극한?
x=4에서 f(x)의 분모가 0이므로 f(x)는 정의할 수 없습니다.
x>4의 구간에서 함수의 분모 $(4-x)^3 <0$이므로 f(x)<0
x<4의 구간에서 함수의 분모 $(4-x)^3 >0$이므로 f(x)>0
이것은 $x \to 4^-$와 $x \to 4^+$인 경우는 부호가 반대가 됨을 의미합니다. 즉, 그 지점에서 함수는 불연속이며 반대의 부호를 가집니다.
그러므로
 $\lim_{x \to 4^-} \frac{3}{(4-x)^3} \neq \lim_{x \to 4^+} \frac{3}{(4-x)^3} \rightarrow \lim_{x \to 4} \frac{3}{(4-x)^3}$는 존재하지 않습니다.

어떤 점에서의 극한이 무한대로 발산하는 함수 f(x)와 특정한 값으로 수렴하는 함수 g(x)의 연산에서 다음이 성립합니다.
$\lim_{x \to c} f(x)= \infty, \;  \lim_{x \to c} g(x)=L$
c, L : 임의의 실수
1) $\lim_{x \to c} f(x) \pm g(x) = \infty$
2) $L>0 \rightarrow \lim_{x \to c} f(x) g(x) = \infty$
3)  $L<0 \rightarrow \lim_{x \to c} f(x) g(x) = -\infty$
4) $\lim_{x \to c} \frac{g(x)}{f(x)} = 0$

예를들어
$f(x) = ln(x), g(x)=x^3+3$의 경우 0으로의 극한값은 다음과 같습니다.
$\lim_{x \to 0} ln(x)=-\infty, \;  \lim_{x \to 0} x^3+3=3$
>>> x=symbols("x")
>>> f=ln(x)
>>> g=x**3+3
>>> limit(f, x, 0)
-oo
>>> limit(g, x, 0)
3
>>> limit(f+g, x, 0)
-oo
>>> limit(f*g, x, 0)
-oo
>>> limit(g/f, x, 0)
0

2. 무한대로의 극한
한점으로 접근 대신 무한대로 확산되는 경우 극한값을 고려합니다.
다음 그림은 함수$ f(x)=x^2+1, \; g(x) =\frac{1}{x^2}$을 나타낸 것입니다.

위그림을 고려해보면 x를 0으로 접근시키면 f(x)=0+1=1, $g(x)=/frac{1}{0}=\infty$가 됩니다. 반대로 x를 $\infty$로 확장하면 $f(x)= \infty+1=\infty, \; g(x)=\frac{1}{\infty}=0$이 됩니다. 

4. 다음 함수들을 무한대로 확장할 때 극한?
>>> x=symbols("x")

>>> f=2*x**4-x**2-8*x

>>> limit(f, x, oo)

oo
위 함수는 두 부분으로 구분하여 계산할 수 있습니다. 구분된 각 함수 역시 x를 무한대로 확산하면 그에 대응하는 부분 역시 무한대로 확산됩니다.

>>> f1=x

>>> f2=2*x**3-x-8

>>> limit(f1,x, oo)

oo

>>> limit(f2, x, oo)
oo

5.  다음함수의 극한?
>>> f=1/3*x**5+2*x**3-x**2+8
>>> limit(f, x, oo)

oo
다음의 두 부분으로 분리한다면 일정한 값으로 수렴되는 극한값을 얻을 수 있지만 전체적인 경우 무한대와 특정값의 합은 무한대이므로 위의 결과와 같습니다.
>>> f1=x**5
>>> f2=1/3+2/x**2-1/x**3+8/x**5
>>> limit(f1, x, oo)
oo
>>> limit(f2, x, oo)
0.333333333333333
>>> limit(f1*f2, x, oo)
oo

6. 다음의 극한값?
>>> f=(2*x**4-x**2+8*x)/(-5*x**4+7)
>>> limit(f, x, oo)
 -2/5
위 함수를 정리해보면
$\frac{2x^4-x^2+7x}{-5x^4+7}=\frac{2-\frac{1}{x^2}+7\frac{1}{x^3}}{-5+7\frac{1}{x^4}}$
$\lim_{x \to \infty}\frac{2-\frac{1}{x^2}+7\frac{1}{x^3}}{-5+7\frac{1}{x^4}}=\frac{2-\frac{1}{\infty}+7\frac{1}{\infty}}{-5+7\frac{1}{\infty}}\frac{2}{-5}$

7. $\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{3x^2+6}}{5-2x}, \; \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{3x^2+6}}{5-2x}$?
>>> f=pow(3*x**2+6, 0.5)/(5-2*x)
>>> limit(f, x, oo)
-0.866025403784439
>>> limit(f, x, -oo)
0.866025403784439
위 함수를 정리해보면 다음과 같습니다.
$\frac{\sqrt{3x^2+6}}{5-2x}=\frac{|x|\sqrt{3+\frac{6}{x^2}}}{x(\frac{5}{x}-2)}$
$\lim_{x \to \infty}\frac{|x|\sqrt{3+\frac{6}{x^2}}}{x(\frac{5}{x}-2)}=\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{3+\frac{6}{x^2}}}{\frac{5}{x}-2}=\frac{\sqrt{3}}{-2}$
$\lim_{x \to -\infty}\frac{|x|\sqrt{3+\frac{6}{x^2}}}{x\frac{5}{x}-2}=\lim_{- \to \infty}\frac{\sqrt{3+\frac{6}{x^2}}}{\frac{5}{x}-2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\because \lim_{x \to -\infty} \frac{|x|}{x}= \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x}=-1$

8. >>> f=(x**2-5*x-9)/(2*x**4+3*x**3)
>>> limit(f, x, oo)
0
>>> limit(f, x, -oo)
0

위 함수는 음의 무한대, 양의 무한대로 확산할 경우 특정한 극한값으로 수렴합니다. 위 그림에서 나타낸 것과 같이 양쪽의 무한대로 진행할 경우 f(x)=y=0의 값으로 접근하는데 이 선을 점근선(asymptote)라고 한다.

위와 같은 경우를 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.
함수 f(x)가 다음을 만족하면 y=L에 대한 수평적 점근선(asymptote)을 갖습니다.
$\lim_{x \to \infty}f(x) =L, \; \lim_{x \to -\infty}f(x) =L$

9. $\lim_{x \to \infty}e^x \; \lim_{x \to -\infty}e^x \; \lim_{x \to \infty}e^{-x} \; \lim_{x \to -\infty}e^{-x}$ ?
>>> f=exp(x)
>>> limit(f, x, oo)
oo
>>> limit(f, x, -oo)
0
>>> g=exp(-x)
>>> limit(g, x, oo)
0
>>> limit(g, x, -oo)
oo

$\lim_{x \to -\infty}e^x = \lim_{x \to \infty}e^{-x}$