가역행렬에 대한 정의

가역행렬의 정의

n × n 차원의 정방행렬 A가 가역행렬(invertible matrix)일 경우 다음은 모두 동치입니다.

1. A의 행렬식은 0이 아닙니다. (det A ≠ 0)

numpy.linalg.det() 함수에 의해 계산됩니다.

import numpy as np
import numpy.linalg as la
import sympy as sp

A=np.array([[2,3],[6, 8]]); A

array([[2, 3],
           [6, 8]])

round(la.det(A), 4)

-2.0

2. 역행렬이 존재합니다.

numpy.linalg.inv() 함수에 의해 계산됩니다.

Ainv=la.inv(A); Ainv

array([[-4. ,  1.5],
           [ 3. , -1. ]])

np.dot(A, Ainv)

array([[1., 0.],
           [0., 1.]])

3. 가역행렬 A의 전치행렬 A^T 역시 가역행렬입니다.

이 두행렬의 행렬식은 같습니다.

det(A) = det(A^T)

AT=A.T; AT

array([[2, 6],
           [3, 8]])

la.inv(AT)

array([[-4. ,  3. ],
           [ 1.5, -1. ]])

round(la.det(AT), 4)==round(la.det(A), 4)

True

round(la.det(AT), 4)

-2.0

4. 행렬방정식 Ax=c에 대해 유일한 해를 가집니다.

식의 해를 계산하기 위해 numpy.linalg.solve()함수를 적용합니다.

식의 c즉 상수항이 다음 코드의 const라면 A가 가역행렬이므로 변수 x의 해를 계산할 수 있습니다.

const=np.array([2,1]).reshape(2,1);const

array([[2],
           [1]])

sol=la.solve(A, const); sol

array([[-6.5],
           [ 5. ]])

5. 선형독립입니다.

행렬방정식 Ax=0이 선형독립이면 A와 0의 확대행렬의 기약행 사다리꼴(rref)로 부터 모든 열이 선도변수 1을 갖습니다. 이것은 유일한 해를 가지는 것으로 자명한 해(trivial solution)을 가집니다.

기약행 사다리꼴(rref)는 sympy객체.rref()메소드에 의해 확인할 수 있습니다.

sp.Matrix(A).rref()

(Matrix([
     [1, 0],
     [0, 1]]),
     (0, 1))

6. m × n의 행렬 A에서 다음이 성립

n = dim Col A = pivot column의 갯수 = rank A

행렬 A의 열공간(column space)은 기약행 사다리꼴에서 선도변수가 존재하는 열입니다.

열공간의 갯수는 dim col A로 표시하며 pivot column의 갯수와 같습니다.

행렬의 열공간은 그 행렬의 기저 벡터(basis vector)이며 그 수를 그 행렬의 급수(rank)라고 합니다.

sympy객체.columnspace()메서드로 확인할 수 있습니다.

columnS=sp.Matrix(A).columnspace();columnS #Col A: A의 열공간

[Matrix([
     [2],
     [6]]),
     Matrix([
     [3],
     [8]])]

len(columnS)

2

la.matrix_rank(A)

2

7. 가역행렬의 영공간(null space)의 차원은 0입니다.

dim Nul A={ }

sympy객체.nullspace()메서드로 확인할 수 있습니다.

nullS=sp.Matrix(A).nullspace(); nullS #null space

[]

8.가역행렬의 모든 열 벡터들은 그 벡터공간의 Span이 됩니다.

Span은 기저벡터들로 구성됩니다.

가역행렬의 모든 열 벡터들은 pivot column이고 열공간이 되므로 기저벡터들이 됩니다.

그 행렬을 구성하는 모든 열벡터들이 Span이 되면 그 행렬은 가역행렬이 됩니다.

9. m × n 차원의 행렬 A가 가역행렬이라면 n개의 특이값을 갖습니다.

특이값은 A^TA의 고유값의 제곱근으로 이 결과 행렬의 고유값이 0이 아니라면 그에 대응하는 고유벡터가 기저벡터가 되며 그 수가 A의 열 차원과 같다면 선형독립이며 가역행렬이 됩니다. 다음이 성립됩니다.

벡터의 rank 수 = 0이 아닌 특이값의 수의 개수

  행렬 A의 가역행렬 여부를 결정해봅니다.

A=np.array([[4, 11, 14],[8, 7, -2]]);A

array([[ 4, 11, 14],
           [ 8,  7, -2]])

sp.Matrix(A).rref()#기약행사다리꼴

(Matrix([
     [1, 0, -2],
     [0, 1,  2]]),
     (0, 1))

위 결과에서 pivot column은 첫 번째, 두 번째 열이므로 자유변수가 존재합니다.

sp.Matrix(A).columnspace()

[Matrix([
     [4],
     [8]]),
     Matrix([
     [11],
     [ 7]])]

열공간은 2개입니다.

la.matrix_rank(A)

2

급수 역시 2개 입니다.

dim Col과 rank A가 행렬 A의 열차원(3)과 같지 않습니다. 그러므로 행렬 A는 가역행렬이 아닙니다. 이 결과와 다음 코드에서 0이 아닌 특이값의 수와 같습니다.

d, P=la.eig(np.dot(A.T, A))
np.around(d, 3) #고유값

array([360.,   0.,  90.])

np.around(P, 3)  #고유벡터

array([[-0.333, -0.667, -0.667],
           [-0.667,  0.667, -0.333],
           [-0.667, -0.333,  0.667]])

singleVal=np.sqrt(d)
np.around(singleVal, 3) #ATA의 특이값

array([18.974,  0.   ,  9.487])