[Linear Algebra]변환과 관련된 용어

변환과 관련된 용어

선형대수에서 변환(transformation)은 함수(function)를 의미합니다. 함수는 어떤 객체에 대해 한개이상의 연산 과정을 실시하여 다른 결과를 반환하는 연산의 모둠이라고 할 수 있습니다. 즉, 변환(함수)에 의해 x₁이라는 인자를 투입하면 y₁ 또는 y₁, y₂, ... 등 다중의 결과를 반환할 수도 있습니다. 이와 같은 변환과정에 빈번히 사용되는 용어들을 정리해보면 다음과 같습니다.

1.사상(mapping, Function)

입력(X) → 함수(f) → 출력(Y) ⇔ f: x rarr; y ⇔ y = f(x)

위 관계를 "집합 X에서 집합 Y로의 사상(함수)"이라고 표현합니다.

2. 상(Image)

위의 입력 X가 함수에 적용되면 입력값에 대응되는 Y가 반환됩니다. 그 함수에 대응하여 반환되는 각각의 결과를 상(image)라고 합니다.

3. 정의역(domain), 공역(codomain), 치역(range)

• 상을 나타내기 위한 입력 집합을 정의역
• 함수의해 생성될 가능성이 있는 모든 부분을 공역
• 공역 중에서 함수에 의해 생성되는 결과들의 집합을 치역(image, 상)
  • 공역(Y)과 치역($y_i$ i=...-1, 0, 1,...)은 같을 수가 있습니다.
  • $y_i \subseteq Y$

4. 핵(kernel)

$T: R^n \rightarrow R^n$의 선형변환에서 즉, 함수 T에 의해 정의역에 대한 상이 0이 되는 전체 집합을 T의 핵(kernel)이라 하며 kerT로 나타냅니다.

kerT = { v ∈ Rⁿ | T(v) = 0 }

예)

다음 변환의 핵(ker T)를 결정합니다.

$$T: R^2 \rightarrow R^2,\; T(x, y) =(x-y, 0)$$

위 선형변환의 표준행렬을 생각해 보면 다음과 같습니다.

\begin{align}T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right) & =\begin{bmatrix} x-y \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= x\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} -1\\0 \end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1& -1\\0& 0\end{bmatrix} \end{align}

위 식의 마지막항이 표준행렬 A가 됩니다.

위의 변환에서 결과 즉, 상이 0이 되기 위해서는 x=y의 조건을 만족하는 정의역의 집합부분입니다. 그러므로 kerT는 다음과 같습니다.

kerT = { (x, y) ∈ R² | y = x }

5. 단사(one-to-one, injective)

T: Rⁿ → R^m, T(u) = v의 변환에서 입력에 대한 고유한 결과를 보인다면 즉, 일대일 대응이면 단사라고 합니다.

예)

T(x, y)=(y, x)는 단사인가?

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right)=x \begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}$$

위 식을 만족하는 벡터 (x, y)는 (0, 0) 뿐입니다. 즉, 위의 조건을 만족하는 값은 하나뿐이므로 단사입니다. 이 과정을 일반화시켜 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

injective → kerT = 0

즉, kerT=0은 단사의 필요충분조건입니다.

예)

T: R³ → R³에서 다음은 단사입니까?

T(x, y, z) = (x+2y-z, y+z, x+y-2z)

위 식을 표준행렬을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\begin{align}T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \right) & =x\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix} 1\\1\\-2 \end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1& 2& -1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\end{align}

kerT = 0이 단사의 필요충분조건이라고 했습니다. 즉, T에 의한 상이 0인 정의역의 집합이 유일하여야 합니다. 이것은 다음의 선형결합이 자명한 해를 갖는 선형독립이라는 것을 의미합니다.

$$\begin{bmatrix}1& 2& -1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}$$

선형결합이 독립이기 위해서는 역행렬이 존재해야 합니다. 정방행렬일 경우 역행렬의 존재는 행렬식 ≠ 0의 조건이 만족되어야 합니다.

A=np.matrix("1,2,-1; 0, 1, 1; 1,1,-2")
la.det(A)

0.0

행렬식의 값은 np.linalg.det(A) 함수로 확인할 수 있습니다. 위 결과와 같이 행렬식이 0이므로 행렬 A는 역행렬이 존재하지 않는 비가역행렬입니다. 그러므로 위에서 해가 존재하지 않습니다. 결론적으로 단사가 아닙니다.

6. 전사(onto, surjective)

T: Rⁿ → R^m, T(v)=w에서 w ∈ R^m에 대해 v ∈ Rⁿ 이 존재하면 전사라고 합니다. 즉, 이 정의는 "Y=f(x) 즉, 공역과 치역이 같다"를 의미합니다.

7. 전단사과 동형사상

전사와 단사를 모두 포함하는 것으로 일대일 함수에 의해 치역과 공역이 같은 경우입니다. 결과적으로 정의역과 치역 그리고 공역의 형태가 모두 같은 경우로 동형사상(isomortphism)이라고 합니다.

예)

다음의 전단사인지를 결정합니다.

T: R² → R² T(x, y) = (x-y, 0)

T=np.matrix("1, -1; 0, 0")
print(T)

[[ 1 -1]
 [ 0  0]]

la.det(T)

0.0

위 결과로 함수 행렬 T는 비가역행렬입니다. 즉, 위 변환은 단가 아닙니다. 그러므로 전단사(동형사상)가 될 수 없습니다.

m×n의 행렬 A에 대한 선형변환 T_A : Rⁿ → R^m은 다음 두 성질을 만족합니다.

• T_A가 단사이면 A의 열벡터들이 일차독립입니다.
• T_A가 전사이면 A의 행벡터들이 일차독립입니다.