자료의 정규성에 따른 추정

1. 자료의 정규성에 따른 추정

자료의 수가 증가하면 정규분포를 따른다. 일반적으로 금융자료는 로그노말분포를 따른다. 그러므로 일일 자료의 시, 고, 저, 종의 자료를 로그화하여 각 일의 평균과 분산을 구한다. 계산된 평균과 분산을 기준으로 정규분포에 부합하는 일정한 샘플의 수를 추출한다.

결과적으로 새로운 자료는 각 매매일의 평균과 분산으로 구성된다.

기준으로 1000개의 자료를 반복적으로 추출하여 평균과 분산을 계산하자. 작성된 자료는 각각의 평균과 분산이다.

원자료의 구조

date	op	hp	lp	cp	vol
2016-12-22	59000	59600	58300	59000	356648
2016-12-23	59200	59400	58300	59200	268338
2016-12-26	59300	59300	56800	57000	588623
2016-12-27	57000	58300	56900	57800	357689
2016-12-28	57600	58400	57500	57600	315328
2016-12-29	57500	57700	56800	57000	224929

새로 작성된 자료의 구조

	[,1]	[,2]
2016-12-22	58989.11	537.705
2016-12-23	59029.57	505.4986
2016-12-26	58137.11	1379.243
2016-12-27	57503.86	656.4537
2016-12-28	57780.78	422.1877
2016-12-29	57234.39	413.1569

이 분석을 위해 다음과 같이 작성된 함수를 사용하였다.

forecast.distribution.s<-function(da, stDate, samplN, lvl=c(0.75, 0.90, 0.9), predD=1){

d<-da[index(da)>=stDate, 1:4]

d.l<-log(d)

d.mu<-apply(d.l, 1, mean)

d.sd<-apply(d.l, 1, sd)

d.new<-NULL

for(i in 1:nrow(d)){

d1<-rlnorm(samplN, d.mu[i], d.sd[i])

d.new<-rbind(d.new, c(mean(d1), sd(d1)))

}

d.new<-zoo(d.new, order.by=index(d))

mu<-as.data.frame(forecast(auto.arima(d.new[,1]), h=predD, level=lvl))

std<-as.data.frame(forecast(auto.arima(d.new[,2]), h=predD, level=lvl))

re<-list(NULL)

for(j in 1:nrow(mu)){

x<-NULL

x1<-NULL

for(i in 1:ncol(mu)){

if(std[j,i]<=0){

}

x<-rbind(x, quantile(rnorm(samplN, mu[j,i], std[j,i])))

x1<-append(x1,colnames(mu)[i])

}

x1[1]<-"mu"

rownames(x)<-x1

re[[j]]<-x

}

return(re)

}

사용예

> y<-forecast.distribution.s(dataLs[[4]], "2016-09-01", 10000, lvl, 3)

> y

[[1]]

0% 25% 50% 75% 100%

mu 54667.72 56535.06 56955.67 57373.41 59188.71

Lo 50 54843.00 56310.60 56622.61 56929.59 58394.11

Hi 50 54402.39 56748.28 57273.88 57793.35 59917.64

Lo 75 55166.83 56167.26 56399.53 56628.56 57744.91

Hi 75 54043.99 56908.49 57504.55 58110.29 60824.43

Lo 99 55668.51 55697.84 55704.56 55711.42 55741.87

Hi 99 53415.16 57346.18 58185.55 59020.08 63392.66

[[2]]

0% 25% 50% 75% 100%

mu 54599.68 56567.72 56980.65 57391.18 59324.67

Lo 50 54812.78 56123.36 56432.54 56743.89 58370.62

Hi 50 54738.03 57004.31 57536.92 58037.59 60677.39

Lo 75 54791.47 55813.61 56040.96 56265.65 57292.37

Hi 75 54594.07 57310.85 57910.73 58513.17 61624.19

Lo 99 54844.04 54876.18 54883.06 54889.98 54920.01

Hi 99 54663.04 58253.88 59086.74 59919.64 63939.49

[[3]]

0% 25% 50% 75% 100%

mu 54451.95 56624.40 57029.46 57430.88 59510.09

Lo 50 54590.91 56023.02 56331.98 56642.38 58184.48

Hi 50 54725.24 57195.05 57719.83 58246.00 60562.55

Lo 75 54654.54 55629.55 55861.65 56092.05 57274.46

Hi 75 54657.42 57584.71 58194.35 58778.22 61904.92

Lo 99 54363.61 54394.11 54400.89 54407.91 54435.79

Hi 99 54645.76 58825.61 59629.31 60441.42 63821.08

par(mfrow=c(3,1))

boxplot(t(y[[1]]))

boxplot(t(y[[2]]))

boxplot(t(y[[3]]))

2. 두 변수들의 상관성과 관측값의 불일치 경향 찾기

python으로 작성

1) 설명변수와 반응변수의 시차를 일정기간 불일치 시켜 자료를 재배치

2) 1)에서 구축된 자료를 기반으로 지정구간의 이동평균 등을 위한 클래스 객체를 생성

3) 각 변수들 사이의 scale의 차이등으로 인해 정규화 시키는 것이 추후 분석에 유리하다. 그러므로 위에서 생성한 클래스 객체를 정규화

4) 그 클래스 객체의 지정된 변수들 사이의 상관계수를 계산

5) 상관계수의 변화와 실측값의 변화를 비교 그 추세를 검사

과정;

원 데이터는 google finance 에서 호출, 이 호출을 위해서는 다음의 모듈을 임포트해야 한다.

import numpy as np

import pandas as pd

from datetime import datetime

from pandas_datareader import data, wb #웹에서 데이터 호출

import pandas_datareader.data as web

print(d.head(3))

Open High Low Close Volume

Date

2016-01-04 1954.47 1954.52 1918.76 1918.76 359018000

2016-01-05 1911.93 1937.57 1911.93 1930.53 446548000

2016-01-06 1934.25 1934.25 1911.61 1925.43 594612000

print(d.tail(3))

Open High Low Close Volume

Date

2017-03-29 2172.31 2172.31 2162.04 2166.98 626792000

2017-03-30 2170.18 2174.16 2159.16 2164.64 643563000

2017-03-31 2166.62 2166.93 2159.80 2160.23 441640000

1) 분석을 위한 자료 생성은 다음의 사용자 정의 함수를 사용한다.

아래의 함수의 인수중 Da는 원 데이터, deColN은 반응변수로 할 열 번호, diffDay는 설명과 반응변수의 시차를 결정하기 위한 수치이다.

다음 함수는 먼저 원 데이터의 길이를 계산한다.

원 데이터 중에 반응변수의 열을 제거하고 분석할 값들만을 구성한 설명변수로 생성

shift() 함수를 적용하여 반응변수를 생성.

원 데이터의 마지막 설명변수는 최종 추정을 위한 다른 객체로 저장

def indDeS(da, deColN, diffDay=1):

n=len(da)

indN=np.delete(range(len(da.columns)), deColN)

da1=pd.DataFrame(da.ix[:(n-1), indN])

y=da.ix[:, deColN].shift(-diffDay)

da1['de']=y

targD=da.tail(1)[indN]

return([da1, targD])

d1, trg=indDeS(d, 3)

print(d1.tail(4))

              Open     High      Low     Volume       de
Date                                                     
2017-03-27  2161.17  2165.25  2153.14  395862000  2163.31
2017-03-28  2166.58  2169.14  2157.71  393970000  2166.98
2017-03-29  2172.31  2172.31  2162.04  626792000  2164.64
2017-03-30  2170.18  2174.16  2159.16  643563000  2160.23

print(trg)

              Open     High     Low     Volume
Date                                           
2017-03-31  2166.62  2166.93  2159.8  441640000

2) d1 객체의 정규화 

dr=d1.rolling(window=5)

3) 자료의 정규화

mu=dr.mean()sd=dr.std()norD=(d1-mu)/sdprint(norD.head(7))                

Open      High       Low    Volume        de

Date                                                        

2016-01-04       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN

2016-01-05       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN

2016-01-06       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN

2016-01-07       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN

2016-01-08 -1.294747 -1.173184 -1.589022 -0.160165 -1.331808

2016-01-11 -0.719192 -1.417275 -0.621273 -1.118241 -1.070076

2016-01-12 -0.070449 -0.793204 -0.613639 -0.969437  0.946491

4) 지정된 이동구간에 대해 반응변수와의 상관계수 계산 

corOpen=dr.corr(d1['de']) print(corOpen.tail(7))

                Open      High       Low    Volume   de
Date                                                   
2017-03-22  0.794484  0.041950  0.408454 -0.167106  1.0
2017-03-23  0.429090 -0.106396  0.187640 -0.015958  1.0
2017-03-24 -0.664483 -0.688119 -0.551867 -0.425484  1.0
2017-03-27 -0.393969 -0.065968  0.059413  0.018278  1.0
2017-03-28 -0.356691 -0.213403  0.044578  0.440898  1.0
2017-03-29  0.055048 -0.086511  0.182659  0.122242  1.0
2017-03-30 -0.377367 -0.782739 -0.484168  0.133582  1.0

위의 자료에서 반응변수의 변화율에 대해 상관계수의 상관을 알아보자. 

CloseChg=d1["de"].pct_change(1) d2=pd.concat([corOpen['Open'], CloseChg], axis=1, join='inner') d2=d2.dropna() print(d2.head(5))

                Open        de
Date                          
2016-01-08  0.625048 -0.011879
2016-01-11  0.476084 -0.002100
2016-01-12  0.495252  0.013444
2016-01-13  0.858780 -0.008490
2016-01-14  0.764442 -0.011126

plt.figure(figsize=(15, 7))plt.xlim([datetime(2016,10,1), datetime(2017, 4, 1)])plt.plot(d2.index, d2['de']*100, 'k', label='Close')plt.plot(d2.index, d2['Open'],'r', label='Op:Cl')plt.legend()plt.show()

부분분수의 미분

내용 방법 1 방법 2 방법 3 부분분수의 미분 분수의 미분은 일정한 공식 을 적용하여 계산할 수 있습니다. 그러나 분수 자체가 단순한 표현으로 이루어지지 않았다면 미분 과정이나 결과는 매우 복잡할 수 있습니다. 만약 복잡한 분수 함수를 간단한 분수들로 분해할 수 있다면 계산이 보다 간편해질 것입니다. 이와 같이 분해된 간단한 분수들을 부분분수 라고 합니다. 예를 들어 다음 두 분수의 합을 계산해 봅니다. $$\begin{align} \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}&=\frac{x-1+2(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{3x+1}{x^2-1} \end{align}$$ 위 과정은 3개 이상의 여러 분수에서도 이루어질 수 있습니다. 또한 역으로 진행될 수 있습니다. 즉, 분수를 부분 분수로 분할할 수 있습니다. 그러나 이러한 과정은 대수분수 (분자의 가장 큰 차수가 분모의 최고의 차수보다 작은 분수)에서만 이루어질 수 있습니다. 예를 들어 $\displaystyle \frac {x^2+2}{x^2-1}$의 경우는 분자와 분모의 차수는 2차로 같습니다. 이러한 경우 다음과 같이 분리할 수 있습니다. $$\frac{x^2+2}{x^2-1}=1+\frac{3}{x^2-1}$$ 위의 식 중 $\displaystyle \frac{3}{x^2-1}$은 분자의 차수가 분모의 차수 보다 낮은 대수 분수이므로 부분 분수로 분리할 수 있습니다. 이와같이 부분 분수로 분해하는 방법은 다음과 같이 몇 가지로 구분할 수 있습니다. 방법 1 위 예의 결과 $\displaystyle \frac{3x+1}{x^2-1}$의 경우를 역으로 생각해 봅니다. 분모의 인수분해가 가능하면 그 분모의 인수에 의해 다음과 같이 분해할 수 있습니다. $$\begin{align} \frac{3x+1}{x^2-1}&=\frac{3x+1}{(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{A}{x+1...

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