함수의 그래프

다음 그림들은 전자책 파이썬과 함께하는 미분적분의 1장과 2장에 수록된 그래프들과 코드들입니다.

import numpy as np 
import pandas as pd
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set_style("darkgrid")

#그림 1.1.3
x=np.linspace(0, 2, 20)
y=3-x**2
x1=np.linspace(2, 7, 20)
y1=2*x1-6
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, y, color="g", label=r"y=3-$x^2$")
plt.plot(x1, y1, color="brown",  label="y=2x-6")
plt.hlines(4, 0, -3, color="orange", label="y=4")
plt.scatter(0, 4, color="orange")
plt.scatter(0, 3, color="white", edgecolors="k")
plt.scatter(2, -1, color="g")
plt.scatter(2, -2, color="white", edgecolors="k")
plt.xlabel("x",  fontsize="11")
plt.ylabel("y", fontsize="11")
plt.legend(loc="upper center", labelcolor=["g", "brown", "orange"], frameon=False)
plt.show()

#그림 2.1.1
x=np.linspace(-3, 3, 100)
y=2*x**2
y1=4*x-2
px=[0.5, 1]
py=[0, 2]
plt.figure(figsize=(3, 3))
plt.plot(x, y, color="g", label=r"f(x)=2$x^2$")
plt.plot(x, y1, color="brown", label="y=4x-2")
plt.scatter(px, py, s=10, c=["r", 'g'])
plt.xlim(-1, 2)
plt.ylim(-3, 7)
plt.xlabel("x", fontsize="11")
plt.ylabel("y", fontsize="11")
plt.legend(labelcolor="linecolor")
plt.show()

#그림 2.1.2
x=np.linspace(0, 3, 100)
y=[2*x**2, 4*x-2, 3*x-0.6, 4.2*x-1.2, 6*x-1.8]
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, y[0], color="g", label=r"f(x)=2$x^2$")
plt.plot(x, y[1], color="r",  alpha=0.5, label="y=4x-2")
plt.plot(x, y[2], ls="--", alpha=0.5, color="brown", label="y=3x-0.6")
plt.plot(x, y[3], ls="--", alpha=0.5, color="k", label="y=4.2x-1.2")
plt.plot(x, y[4], ls="--", alpha=0.5, color="orange", label="y=6x-1.8")
plt.xlabel("x", loc="right", fontsize="11")
plt.ylabel("y", loc="top", fontsize="11")
plt.legend(loc="best", labelcolor="linecolor")
plt.grid(True)
plt.show()

#그림 2.1.4
x1, x2=np.linspace(-3, 1.9, 50), np.linspace(2.1, 10, 50)
y1, y2=(x1**2+4*x1-12)/(x1**2-2*x1), (x2**2+4*x2-12)/(x2**2-2*x2)
p=[2, 6]
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x1, y1, color="b", label=r"$\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x},\; x\neq 2$")
plt.plot(x2, y2, color="b")
plt.scatter(p[0], p[1], s=50, c="r", label="(2, 6)")
plt.scatter(2, 4, s=50, c="w", edgecolors='k')
plt.xlabel("x",fontsize="11")
plt.ylabel("y",fontsize="11")
plt.ylim(-5, 10)
plt.legend(loc="best", labelcolor=["b", "r"])
plt.show()

#그림 2.1.5
x=np.linspace(-1, 2, 50)
y=4*x**3-6*x**2+3*x-2
plt.figure(figsize=(4,3))
plt.plot(x, y, color="b", label=r"$4x^3-6x^2+3x-2$")
plt.xlabel("x", fontsize="11")
plt.ylabel("y", rotation="horizontal",fontsize="11")
plt.legend(loc="lower right")
plt.show()

#그림 2.1.6
plt.figure(figsize=(4,3))
plt.hlines(1, 0, 2, lw=2, color="b", label="y=1, if x>=0")
plt.hlines(0, 0, -2, lw=2, color="r", label="y=0, if x<0")
plt.scatter(0, 1, s=30, c="b")
plt.scatter(0, 0, s=30, c="white", edgecolor="k")
plt.xlabel("x", fontsize="11")
plt.ylabel("y", rotation="horizontal",fontsize="11")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

#그림 2.1.7
x=np.linspace(-2,5, 100)
y=4*x**2
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, y, color="g", label="f(x)")
plt.vlines(2, 0, 16, ls="--", alpha=0.6, color="b")
plt.vlines(3, 0, 36, ls="--", alpha=0.6, color="r")
plt.vlines(4, 0, 64, ls="--", alpha=0.6, color="b")
plt.hlines(16, 0, 2, ls="--", alpha=0.6, color="b")
plt.hlines(36, 0, 3, ls="--", alpha=0.6, color="r")
plt.hlines(64, 0, 4, ls="--", alpha=0.6, color="b")
plt.hlines(-0.5, -2, 5, color="gray" )
plt.vlines(0, 0, 100, color="gray")
plt.scatter([2, 3, 4], [16, 36, 64], s=50, c=["b","r","b"])
plt.xticks([2,3,4], labels=[r"a-$\Delta$", "a", r"a+$\Delta$"], fontsize="10")
plt.yticks([16, 36, 64], labels=[r"L-$\epsilon$", "L", r"L+$\epsilon$"], fontsize="10")
plt.xlabel("x", fontsize="11")
plt.ylabel("y", rotation="horizontal", fontsize="11")
plt.legend(loc=(0.5, 0.8), labelcolor=["g", "brown"])
plt.show()

#그림 2.1.8
x=np.linspace(0.01, 7, 100)
y=x**2
y1=(x+1)/x
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, y1, color="brown", label=r"(a) $y=\frac{x+1}{x}$")
plt.plot(x, y, color="g", label=r"(b) $y=x^2$")
plt.hlines(1, 0, 7, ls="--", alpha=0.6)
plt.xlabel("x",fontsize="11")
plt.ylabel("y", rotation="horizontal", fontsize="11")
plt.ylim([0, 5])
plt.legend(loc=(0.5, 0.6), labelcolor=["brown", "g"], fontsize="11")
plt.show()

#그림 2.2.1
x=np.linspace(-2, 2, 100)
y=np.abs(x)
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, y, color="g", label="y=|x|")
plt.xlabel("x", fontsize="11")
plt.ylabel("y", rotation="horizontal", fontsize="11")
plt.legend(loc=(0.6, 0.9), fontsize="11")
plt.show()

#그림 2.2.2
x=np.linspace(-2, 7, 100)
y=-x**3+6*x**2
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, y, color="g", label=r"$y=x^3+6x^2$")
plt.hlines(32, -2, 7, ls="--", alpha=0.6, color="b")
plt.hlines(0, -2, 7, ls="--", alpha=0.6, color="r")
plt.scatter(0,0, s=30, c="r", label="(0,0)" )
plt.scatter(4, 32, s=30, c="b", label="(4, 32)" )
plt.xlabel("x", fontsize="11")
plt.ylabel("y", rotation="horizontal", fontsize="11")
plt.legend(loc="lower center", labelcolor=["g", "r", "b"])
plt.show()

[Linear Algebra] 유사변환(Similarity transformation)

유사변환(Similarity transformation) n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation) 이라고 합니다. $$\tag{1} A = PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP = B $$ 식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다. \begin{align}\tag{식 2} B - \lambda I &= P^{-1}AP – \lambda P^{-1}P\\ &= P^{-1}(AP – \lambda P)\\ &= P^{-1}(A - \lambda I)P \end{align} 식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다. \begin{align} &\begin{aligned}\textsf{det}(B - \lambda I ) & = \textsf{det}(P^{-1}(AP – \lambda P))\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}((A – \lambda I)) \textsf{det}(P)\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) \textsf{det}((A – \lambda I))\\ &= \textsf{det}(A – \lambda I)\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\because \; \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) &= \textsf{det}(P^{-1}P)\\ &= \textsf{det}(I)\end{aligned}\end{align} 유사행렬의 특성 유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B' 와 같...

유리함수 그래프와 점근선 그리기

내용 유리함수(Rational Function) 점근선(asymptote) 유리함수 그래프와 점근선 그리기 유리함수(Rational Function) 유리함수는 분수형태의 함수를 의미합니다. 예를들어 다음 함수는 분수형태의 유리함수입니다. $$f(x)=\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x - 6}$$ 분수의 경우 분모가 0인 경우 정의할 수 없습니다. 이와 마찬가지로 유리함수 f(x)의 정의역은 분모가 0이 아닌 부분이어야 합니다. 그러므로 위함수의 정의역은 분모가 0인 부분을 제외한 부분들로 구성됩니다. sympt=solve(denom(f), a); asympt [-3, 2] $$-\infty \lt x \lt -3, \quad -3 \lt x \lt 2, \quad 2 \lt x \lt \infty$$ 이 정의역을 고려해 그래프를 작성을 위한 사용자 정의함수는 다음과 같습니다. def validX(x, f, symbol): ① a=[] b=[] for i in x: try: b.append(float(f.subs(symbol, i))) a.append(i) except: pass return(a, b) #x는 임의로 지정한 정의역으로 불연속선점을 기준으로 구분된 몇개의 구간으로 전달할 수 있습니다. #그러므로 인수 x는 2차원이어야 합니다. def RationalPlot(x, f, sym, dp=100): fig, ax=plt.subplots(dpi=dp) # ② for k in x: #③ x4, y4=validX(k, f, sym) ax.plot(x4, y4) ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) ax.spines['right...

부분분수의 미분

내용 방법 1 방법 2 방법 3 부분분수의 미분 분수의 미분은 일정한 공식 을 적용하여 계산할 수 있습니다. 그러나 분수 자체가 단순한 표현으로 이루어지지 않았다면 미분 과정이나 결과는 매우 복잡할 수 있습니다. 만약 복잡한 분수 함수를 간단한 분수들로 분해할 수 있다면 계산이 보다 간편해질 것입니다. 이와 같이 분해된 간단한 분수들을 부분분수 라고 합니다. 예를 들어 다음 두 분수의 합을 계산해 봅니다. $$\begin{align} \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}&=\frac{x-1+2(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{3x+1}{x^2-1} \end{align}$$ 위 과정은 3개 이상의 여러 분수에서도 이루어질 수 있습니다. 또한 역으로 진행될 수 있습니다. 즉, 분수를 부분 분수로 분할할 수 있습니다. 그러나 이러한 과정은 대수분수 (분자의 가장 큰 차수가 분모의 최고의 차수보다 작은 분수)에서만 이루어질 수 있습니다. 예를 들어 $\displaystyle \frac {x^2+2}{x^2-1}$의 경우는 분자와 분모의 차수는 2차로 같습니다. 이러한 경우 다음과 같이 분리할 수 있습니다. $$\frac{x^2+2}{x^2-1}=1+\frac{3}{x^2-1}$$ 위의 식 중 $\displaystyle \frac{3}{x^2-1}$은 분자의 차수가 분모의 차수 보다 낮은 대수 분수이므로 부분 분수로 분리할 수 있습니다. 이와같이 부분 분수로 분해하는 방법은 다음과 같이 몇 가지로 구분할 수 있습니다. 방법 1 위 예의 결과 $\displaystyle \frac{3x+1}{x^2-1}$의 경우를 역으로 생각해 봅니다. 분모의 인수분해가 가능하면 그 분모의 인수에 의해 다음과 같이 분해할 수 있습니다. $$\begin{align} \frac{3x+1}{x^2-1}&=\frac{3x+1}{(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{A}{x+1...

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