미분, 적분_python

1. 미분 

미분은 어떤 지점에서 순간변화율을 나타낸다.
다음과 같이 정의된다.
$$f'(a)=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}
=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
위의 정의를 사용하여 미분계수를 계산하여 보자.
$$f(x)=3x^2 - 4x +1$$

from sympy import symbols, Limit
x, a, h = symbols('x, a, h')
fx=3*x**2-4*x+1 #f(x) 정의
fxa=fx.subs({x:a}) #f(a) 생성
fxh=fx.subs({x:a+h}) #f(a+h) 생성
Limit((fxh-fxa)/h, h, 0). doit() #미분의 정의에 의한 극한값(미분계수) 계산
  6*a - 4

sympy 패키지를 사용하여 미분을 실행하기 위해서는 먼저 사용될 식, 변수, 상수를 정의해야 한다.

각각의 정의는 symbls() 함수로 실행된다.

from sympy import *

x, y, z, t=symbols('x, y, z, t') #변수 정의
k, m, n=symbols('k, m, n', integer=True) #상수 정의
f, g, h=symbols('f,g,h', cls=Function) #함수 정의

미분은 diff()로 시행된다.
print(diff(cos(x), x))
 -sin(x)
print(diff(exp(x**2), x))
  2*x*exp(x**2)

diff() 함수에 의해 2차 이상의 미분 역시 시행된다.
diff(x**4, x, x, x)
24*x
diff(x**4, x, 3)
24*x

두개이상의 변수에 대한 미분을 시행할 수 있다.
$$e^{xy}$$에 대한 다음과 같은 코딩으로 미분할 수 있다.
ex=exp(x*y)
diff(ex,x,y)

  (x*y + 1)*exp(x*y)

위 식 exp(x*y)를 x에 관해 먼저 미분하고 다음으로 y에 관해 미분하는 것으로 다음과 같은 과정에 의한 것이다.

exp(xy)/dx =y exp(xy)

[y exp(xy)]/(dy) = exp(xy)+xy exp(xy)=91+xy)exp(xy) 

위의 코딩 형식은 다음과 같이 변수부분에 직접 diff를 입력하여 수행할 수 있다. 

ex.diff(x, y)

 (x*y + 1)*exp(x*y)

또한 Derivative() 클래스를 이용하여 클래스 객체를 먼저 생성한 후 .doit() 메소드로 실행할 수 있다. 

deriv=Derivative(ex, x, y)
print(deriv)

 Derivative(exp(x*y), x, y)

deriv.doit()

 (x*y + 1)*exp(x*y)

S곡선으로 알려진 sigmodal curve 식을 미분하여 보자. 

$$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

x, y = symbols("x, y")
si=1/(1+exp(-x))
der=Derivative(si, x)
print(der)

 Derivative(1/(1 + exp(-x)), x)
der.doit()

 exp(-x)/(1 + exp(-x))**2

또는 

diff(si, x)

 exp(-x)/(1 + exp(-x))**2

2. 적분

>>> from sympy import *
>>> x=Symbol('x')
>>> integrate(log(x)**2, x)

 x*log(x)**2 - 2*x*log(x) + 2*x

integrate(객체, 적분변수, 하한치, 상한치) 함수에 의해 적분을 계산한다. 

부정적분 계산은 위 함수에서 한한치와 상한치 인수를 전달하지 않는다. 

integrate(cos(x), x)

 sin(x)

다음은 $$e^x$$를 [0, $$\inf$$]까지의 정적분을 실행한 것이다.

sympy 패키지에서 무한대는 영문 소문자 o를 두개 연속해서 사용한다."oo" 

integrate(exp(-x), (x, 0, oo))

 1

그러면 이중 적분의 실행 역시 가능할 것이다. 

$$\int^\inf_{-\inf} \int^\inf_{-\inf} e^{-x^2 -y^2} dxdy$$

integrate(exp(-x**2-y**2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))

 pi

미분의 경우와 같이 integrate 객체를 생성하여 .doit() 메소드를 사용하여 위의 부정적분과 동일한 결과를 나타낼 수 있다. 

ex=integrate(log(x)**2, x)
print(ex)

x*log(x)**2 - 2*x*log(x) + 2*x
ex.doit()

 x*log(x)**2 - 2*x*log(x) + 2*x

3. Limits

위의 미분과 적분의 과정과 같이 극한을 실행하는데 limit() 함수를 적용하거나 Limit() 함수로 극한 객체를 설정하여 .doit()으로 평가하는 방법이 있다.
$$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$$

limit(sin(x)/x, x, 0)
  1
obj=Limit(sin(x)/x, x, 0)
obj.doit()
  1