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통계관련 함수와 메서드 사전

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행렬식

행렬식

정방행렬에서 계산되는 행렬식(determinant)은
  연립방정식의 해의 존재 여부를 판단하기 위해 시작되었으며
  행렬의 열벡터로 부터 생성되는 도형의 면적이나 부피를 나타내기 위해 사용합니다.
행렬식(determinant)의 계산은 python의 numpy 또는 scipy 모듈의 함수를 사용하여 계산할 수 있습니다.
<span style="background-color: #f6b26b;"><br /></span><span style="background-color: white;">&amp;
다음 두 행렬을 사용하여 다음을 검사해봅니다.<br />
numpy.linalg.det(x)(=np.linalg.det(x))
scipy.linalg.det(x)(or LA.det(x))
행렬 A, B모두 n$\times$n 정방행렬이면 다음이 성립합니다.
det AB=(det A)(det B)

다음 두 행렬을 사용하여 다음을 검사해봅니다.

import numpy as np
import numpy.linag as la
A=np.mat("6,1;3,2"); A
       matrix([[6, 1],
        [3, 2]])
detA=la.det(A); np.around(detA, 3)
       9.0
B=np.mat("4,3;1,2"); B
       matrix([[4, 3],
       [1, 2]])
detB=la.det(B); np.round(detB, 3)
       5.0
np.allclose(detA*detB, la.det(np.dot(A, B)))
       True

행렬곱에서는 성립되지만 덧셈의 경우는 성립되지 않습니다.
det A + det B ≠ det AB

A_B=A+B; A_B
       matrix([[10,  4],
       [ 4,  4]])
la.det(A_B)
       24.000000000000004


2x2 차원의 정방행렬 A에서,
각 열벡터에 의해 결정된 평행사변형의 면적 = |det(A)|
3x3 차원의 정방행렬 A에서,
각 열벡터에 의해 결정된 평행사변형의 모양의 부피 = |det(A)|

예) 좌표(-2,-2), (0, 3), (4, -1), (6,4)에 의해 결정되는 평행 사변형의 넓이?


그림의 평행사변형 넓이는
      점선으로 표시된 사각형의 넓이에서 평행사변형이외의 부분을 고려하여 계산하면 28이 됩니다.
이 평행사변형은 두 벡터 $\overrightarrow{AD}, \; \overrightarrow{AB}$의 합으로 형성됩니다.
두 벡터를 원소로 하는 행렬 E는 다음과 같습니다.

A=np.mat("-2;-2")
B=np.mat("0;3")
C=np.mat("6;4")
D=np.mat("4;-1")
AD=D-A; AD
       matrix([[6],
       [1]])
AB=B-A; AB
       matrix([[2],
       [5]])
E=np.c_[AD, AB];E
       matrix([[6, 2],
       ;[1, 5]])
detE=la.det(E); detE
       28.00000000000001

예) 다음 3차원의 표준기저벡터로 이루어진 정육면체의 부피?

위 그림에서 정육면체의 경우 부피는 1입니다.

v=np.eye(3);v
       array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
        [0., 0., 1.]])
la.det(v)
       1.0

이외에 행렬식의 특성을 정리하면 다음과 같습니다.

$n \times n$의 정방행렬 A, B에서
1) $det A \neq 0$ 이면 A는 가역행렬(invertible matrix) 입니다.
2) det AB = det A • det B
3) $det A^T= det A$
4) A가 삼각행렬이면 det A는 대각원소 들의 곱과 같습니다.

x=np.mat("1,5,0; 2, 4, -1; 0,-2,7")
A=np.tril(x);A
       array([[ 1,  0,  0],
       [ 2,  4,  0],
       [ 0, -2,  7]])
np.round(la.det(A), 4)
       28.0
val=1
for i in range(len(A)):
    val=val*A[i,i]
val
       28

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