행렬 연산

행렬 A, B, C, 항등행렬 I, 스칼라 r, s 사이에서의 연산 
A+B=B+A,   (A+B)+C=A+(B+C),  A+0=A
r(A+B)=rA+rB,  (r+s)A=rA+sA,   r(sA)=(rs)A
A(BC) =(AB)C,   A(B+C)=AB+AC,  (B+C)A=BA+CA
r(AB)=(rA)B=A(rC),  IA=AI=A

>>> import numpy as np
>>> import scipy.linalg as LA
>>> from sympy import *

1.행렬 A,B,C에서의 연산
>>> A=np.mat("4,0,5;-1,3,2");A
matrix([[ 4,  0,  5],
        [-1,  3,  2]])
>>> B=np.mat("1,1,1; 3,5,7");B
matrix([[1, 1, 1],
        [3, 5, 7]])
>>> C=np.mat("2,-3; 0,1");C
matrix([[ 2, -3],
        [ 0,  1]])
>>> A+B
matrix([[5, 1, 6],
        [2, 8, 9]])
>>> try:
...     A+C
... except:
...     print("행렬의 사칙연산은 동일한 차원에서 실행됩니다.")
...
행렬의 사칙연산은 동일한 차원에서 실행됩니다.
>>> 2*B
matrix([[ 2,  2,  2],
        [ 6, 10, 14]])
>>> A-2*B
matrix([[  2,  -2,   3],
        [ -7,  -7, -12]])

행렬곱
두 행렬 m$\times$n차원의 A와 n$\times$p차원의 B사이의 행렬곱
AB=A[$b_1, b_2, ..., b_p$]=[$Ab_1, Ab_2, ..., Ab_p$]
 즉, 앞 행렬의 열의 수와 뒤 행렬의 행의 수가 같아야 합니다. 

2.
>>> A=np.mat("2,3; 1, -5");A
matrix([[ 2,  3],
        [ 1, -5]])
>>> B=np.mat("4,3,6; 1, -2, 3");B
matrix([[ 4,  3,  6],
        [ 1, -2,  3]])
>>> A.shape
(2, 2)
>>> B.shape
(2, 3)
>>> AB=np.dot(A,B)
>>> AB
matrix([[11,  0, 21],
        [-1, 13, -9]])

행렬곱에서는 교환법칙이 성립되지 않습니다. 
3.
>>> A=np.mat("5,1; 3,-2");A
matrix([[ 5,  1],
        [ 3, -2]])
>>> B=np.mat("2,0; 4, 3");B
matrix([[2, 0],
        [4, 3]])
>>> AB=np.dot(A,B); AB
matrix([[14,  3],
        [-2, -6]])
>>> BA=np.dot(B,A); BA
matrix([[10,  2],
        [29, -2]])
>>> AB==BA
matrix([[False, False],
        [False, False]])

전치행렬의 특성은 다음과 같습니다.
$$(A^T)^T=A,\; (A+B)^T=A^T+B^T,\;(rA)^T=rA^T, \; (AB)^T=B^TA^T$$
>>> A=np.mat("5,1; 3,-2");A
matrix([[ 5,  1],
        [ 3, -2]])
>>> B=np.mat("2,0; 4, 3");B
matrix([[2, 0],
        [4, 3]])
>>> A_T=A.T; A_T
matrix([[ 5,  3],
        [ 1, -2]])
>>> A_T.T
matrix([[ 5,  1],
        [ 3, -2]])
>>> A.T+B.T
matrix([[7, 7],
        [1, 1]])
>>> (A+B).T
matrix([[7, 7],
        [1, 1]])
>>> np.dot(A,B).T
matrix([[14, -2],
        [ 3, -6]])
>>> np.dot(B.T, A.T)
matrix([[14, -2],
        [ 3, -6]])


4. 행렬 A 와의 행렬곱으로 0행렬이 되는 2$\times$2 차원의 행렬 B?
$$A=\left[\begin{array}{rr}3&-6\\2&4 \end{array}\right], \; B=\left[\begin{array}{rr}a&-b\\c&d\end{array}\right]$$
>>> A=Matrix([[3,-6],[2,4]]);A
Matrix([
[3, -6],
[2,  4]])
>>> a,b,c,d=symbols("a,b,c,d")
>>> B=Matrix([[a,b], [c,d]]); B
Matrix([
[a, b],
[c, d]])
>>> A*B
Matrix([
[3*a - 6*c, 3*b - 6*d],
[2*a + 4*c, 2*b + 4*d]])
$$\left[\begin{array}{rr}3a-6c&3b-6d\\2a+4c&2b+4d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}0&0\\0&0\end{array}\right]$$

위의 결과에서 각행렬의 열별로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
 $$\left[\begin{array}{r}3a-6c\\2a+4c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{r}3&-6\\2&+4\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}a\\c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\end{array}\right]$$
$$ \left[\begin{array}{r}3b-6d\\2b+4d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{r}3&-6\\2&+4\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}b\\d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\end{array}\right]$$

>>> au=coef.row_join(const)
>>> coef=Matrix([[3,-6],[2,4]]);coef
Matrix([
[3, -6],
[2,  4]])
>>> const=Matrix(2,1,[0,0]);const
Matrix([
[0],
[0]])
>>> au=coef.row_join(const);au
Matrix([
[3, -6, 0],
[2,  4, 0]])
>>> au.rref()
(Matrix([
[1, 0, 0],
[0, 1, 0]]), (0, 1))
B 는 0행렬